摩尔-库仑模型及其在FLAC3D中的应用
摘要: 本文首先阐述了塑性流动理论的增量方程，结合摩尔库仑破坏准则和拉伸破坏准则形
NI成了FLAC中采用的摩尔库仑本构模型，并指出不同的应力计算值?ij条件下?ij的计算方
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法。最后通过模型试验与解析方法进行对比，发现FLAC计算结果与简单模型下精确的解析解吻合较好，但在变性较大时逐渐出现一定偏差。 关键词: 摩尔-库仑模型，增量方程，流动法则，FLAC
1. 塑性流动理论的增量方程 一般情况下，破坏准则可表示为
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f(?n)?0 （1）
式中，f为已知屈服函数，用来判定塑性流动开始产生。在主应力空间中，为一曲面，落在曲面内的应力点为弹性状态。
塑性状态下的应变增量可表示为弹性应变增量和塑性应变增量之和：
??i???ie???ip （2）
弹性应变增量和弹性应力增量的关系表示为：
e??i?Si(??n) （3）
式中，Si为弹性应变增量的线性方程。
流动法则规定了塑性应变增量向量的方向，即与塑性势面的方向垂直，表示为：
??ip???g （4） ??i得到的新的应力矢量应满足屈服方程：
f(?n???n)?0 （5）
式（5）提供了一个估计塑性应变增量矢量的表达式。 将式（2）代入式（3），且考虑到Si为线性函数，得：
??i?Si(??n)?Si(??np) （6）
再将流动法则（4）代入得：
??i?Si(??n)??Si(?g) （7） ??n假定破坏函数f(?n)为线性函数，式（5）可表示为：
f(?n)?f*(??n)?0 （8）
式中，f*代表函数f减去其常量值，f*(.)?f(.)?f(0n)。 对于位于屈服面上的应力点，f(?n)?0，式（8）可转化为，
f*(Sn(??n))??f*(Sn(?g))?0 （9） ??n此时，定义新的应力分量为：
?iN??i???i （10） ?iI??i?Si(??n) （11）
根据式（11），可得：
If(?n)?f*(Sn(??n)) （12）
综合式（9），（12），可得?：
If(?n) （13） ??*f(Sn(?g??n))?f(0n)根据应力增量表达式（7），估算应力（11），新的应力（10）可表示为：
?iN??iI??Si(?g) （14） ??n2. 莫尔库伦模型（IN FLAC3D）
莫尔库伦模型的破坏包线包括两部分，一段剪切破坏包线和一段拉伸破坏包线。与剪切破坏相对应的是相关联的流动法则，与拉伸破坏对应的是不相关联的流动法则。 在FLAC3D中，莫尔库伦模型表示在?1，?2，?3主应力空间中，对应的应变分量为主应变
?1，?2，?3。
弹性增量方程
主应力空间中，虎克定律的增量表达式可写为，
ee??1??1??1e??2(??2???3)
ee??2??1??2??2(??1e???3) （15） ee??3??1??3??2(??1e???2)
式中，?1和?2为由剪切模量和体积模量定义的材料常数。
432?2?K?G (16)
3?1?K?G
根据式（3），式（15）可改写为：
eeeeS1(??1e,??2,??3)??1??1e??2(??2???3)
eeeeS2(??1e,??2,??3)??1??2??2(??1e???3) （17） eeeeS3(??1e,??2,??3)??1??3??2(??1e???2)
复合破坏准则
莫尔库伦模型所采用的破坏准则为摩尔库仑准则和最大拉应力准则。三个主应力为
?1??2??3。破坏准则在(?1,?3)面表示如图1。
图1 FLAC3D莫尔库伦破坏准则
破坏包线f(?1,?3)?0，在A到B上由莫尔库伦准则fs?0定义，
fs??1??3N??2cN? （18）
在B到C上由拉伸破坏准则ft?0定义，
ft??3??t （19）
式中，?为摩擦角，c为粘聚力，?为抗拉强度 N??t1?sin?() (20)
1?sin?()由图1可见，材料的抗拉强度不能超过fs?0和?1??3交点对应的?3值，因此抗拉强度的最大值为
t?max?c (21) tan?2.3 流动法则
塑性势面由两个方程来描述，gs和gt，分别用来定义剪切塑性流动和拉伸塑性流动。 函数gs为不相关联的流动法则，
gs??1??3N? （22）
式中，?为膨胀角，
N??1?sin? （23）
1?sin?函数gt为相关联的流动法则，
gt???3 （24）
统一的流动法可由函数h(?1,?3)?0定义，为fs?0和ft?0的对角线，如图2所示。
h??3??t?aP(?1??P) (25)
aP?1?N?2?N? (26)
?P??tN??2cN? (27)
图2 莫尔库伦模型－流动法则
当由式（11）计算出的?iI对应的应力点落在图2所示domain 1中，产生剪切破坏，应力点在相应曲线f?0上，流动法则由塑性势方程gs推得。如果点落在domain 2中，发生拉伸破坏，新的应力点在f?0上，由流动法则g推出。 2.4 塑性修正
首先考虑剪切破坏的情况。式（22）进行偏微分可得：
tts?gs?1 ??1?gs?0 （28） ??2?gs??N? ??3ee将?gs??1，?gs??2，?gs??3代换??1e，??2，??3，式（17）变为：
??gs?gs?gs?S1?,,???1??2N?
??????23??1