第4讲 手拉手模型 一 “手拉手”数学模型：
EBAOCFDHEFEOADOABCBC⑴ ⑵ ⑶
例1 如图，等边三角形ABE与等边三角形AFC共点于A，连接BF、CE，
求证：BF=CE并求出?EOB的度数.
例1解：∵△ABE、△AFC是等边三角形
∴AE=AB，AC=AF，?EAB??FAC?60?
AE∴?EAB??BAC??FAC??BAC
GO即?EAC??BAF
B∴△AEC≌△ABF
∴BF=EC ?AEC??ABF
又∵?AGE??BGO ∴?BOE??EAB?60? ∴?EOB?60?
例2 如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于A，连接BD、CF，求证：BD=CF并求出
?DOH的度数.
D解：先证明△ABD≌△AFC
∴BD=FC，?BDA??FCA FO∵?DHO??CHA HE∴?DOH??CAD?90?
A例3 如图，已知点C为线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边
BC三角形．
⑴ 求证：AN?BM.
⑵ 将△ACM绕点C按逆时针方向旋转180°，使点A落在CB上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；
⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN?BM”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑷ 在⑵所得的图形中，设MA的延长线交BN于D，试判断△ABD的形状，并证明你的结论．
N N
M
BABCC
FCGa) 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不
变性）；
需要画图分析、判断、猜想、推理论证．
例3 ⑴ ∵△ACM、△BCN是等边三角形
∴AC?CM，BC?CN ?ACM??BCN?60° ∴?ACN??MCB
N在△ACN和△MCB中 ?AC?MC???ACN??MCB ?CN?CB?B∴△ACN≌△MCB（SAS） ∴AN?BM
M⑵ 将△ACM绕点C旋转如图：
N⑶ 在⑵的情况，结论AN?BM仍然成立．
证明：∵?BCM??NCA?60°，CA?CM，CN?CB．
D∴△CAN≌△CMB（SAS），∴AN?MB．
⑷ 如图，延长MA交BN于D，则△ABD为等边三角形． 证明：∵?CAM??BAD??ABD?60°． AC∴△ABD是等边三角形．
2旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究 M【探究一】“手拉手”模型基本构图；
如图1，若?ABC与?ADE旋转全等，则必有?ABD与?ACE为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；
反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形?ABD与?ACE共顶角顶点，则必有?ABCCAB与?ADE旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；
AEAEBDC图1BDC图2
【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；
DDCCGDCFB图3AEBA图4EBA图5E
如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，?ABC与?ADE仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：?ABC≌?ADE；BC?DE；
结论2：BC与DE所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）
DDCCGDCFB图6AEBA图7EBA图8E
【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；
DDCCEGCDFEB图9AEBA图11BA图10
【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得
结论1：?ABC≌?ADE；BC?DE；
结论2：?BOD??COE??BAD??CAE?60?； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（?ABC≌?ADE；?AHD≌?AGB；?AGC≌?AHE）
DDDGB图12AOCHEBGA图13OCHEBGA图14OCHE
结论4：如图15，连接GH，可得?AGH为等边三角形；（由结论3可得AG?AH）
DDGB图15AOCHEBMA图16OCNE
结论5：GH∥BE；（由结论4可得?AGH??BAD?60?） 结论6：连接AO，可得AO平分?BOE；（如图16，分别作AM?BC、AN?DE，AM与AN分别是全等三角形?ABC与?ADE对应边BC和DE上的高，故相等） D三 练习
A1 如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AD=AB，AE=AC，则下列正确
FSE的是（ ） M A. △ABD≌△ACE B. △ADF≌△AES BC. △BMF≌△CMS D. △ADC≌△ABE C1D
2 如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于A，连接BG、CF，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出?GNC的度数． H2先证△ABG≌△AFC
GFENPMDA 可得BG=CF，?ACF??AGB
∵?NPG??APC
∴?GNC??GAC?108?
EB3如图，等腰直角△ADB与等腰直角△AEC共点于A，连接BE、CCD，则线段BE、CD具有什么样的数量关系和位置关系
D3先证明△ABE≌△ADC O∴BE=CD，再类似例1倒角即可得到BE⊥CD
ACB
C为线段AB上一点，CB为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，4如图，分别以AC、
AE交DC于G点，DB交CE于H点，求证：GH∥AB．
E
D
HG ABC
4本题中，△ACD与△BCE是等边三角形，因此AC?CD，BC?CE，
?ACD??ECB?60°，因为A、C、B在同一条直线上，故?DCE?60°．这样可
以得到△ACE≌△DCB，?AEC??DBC，故可以得到△CEG≌△CBH，则GC?HC，?CGH??CHG?60°，所以?ACG??CGH?60°，故GH∥AB．
4∵△ACD和△BCE是等边三角形（已知）
∴AC?CD，BC?CE（等边三角形的各边都相等） ?ACD??BCE?60°（等边三角形的每个角都等于60°） ∵?ACD??DCE??BCE?180°
∴?DCE?60°，?ACE??DCB?120°．
?AC?DC?在△ACE和△DCB中，??ACE??DCB
?CE?CB?∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴?AEC??DBC（全等三角形的对应角相等）
??BCH??ECG?60°?在△BCH和△ECG中，?BC?CE
??CBH??CEG?∴△BCH≌△ECG（ASA）
∴CH?CG（全等三角形的对应边相等） ∴?CGH??CHG（等边对等角）
∵?GCH??GHC??CGH?180°（三角形内角和定理） ∴?GHC??CGH?60°．
∴?ACG??CGH?60°（等量代换） ∴GH∥AB（内错角相等，两直线平行）
5已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为
一边且在AD的右侧作正方形ADEF．
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图1，求证：CF＝BD
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（1）问中的结论是否仍然成
立，并说明理由.
5证明：（1）∵正方形ADEF ∴AD＝AF，∠DAF＝90°
∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD和△ACF中，
?AB?AC? ??BAD??CAF
?AD?AF? ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF
（2）当点D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD＝CF 此时∠DAF＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠BAD＝∠CAF 在△ABD和△ACF中，
?AB?AC? ??BAD??CAF
?AD?AF? ∴△ABD≌△ACF（SAS） ∴BD＝CF