题组层级快练(四十九)
1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 答案 B
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
2．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )
①P∈a，P∈α?a?α； ②a∩b＝P，b?β?a?β；
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b. A．①② C．①④ 答案 D
解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P时，②错； 如图，∵a∥b，P∈b，∴P?a.
B．②③ D．③④
∴由直线a与点P确定唯一平面α.
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P， ∴β与α重合，∴b?α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 3．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( ) A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 答案 B
解析 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l∥m，这与l，m异面矛盾；对于选项B，过点P与l，m都垂直的直线，即过P且与l，m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l，
m都相交的直线有一条或零条；对于选项D，过点P与l，m都异面的直线可能有无数条．
4．已知在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )
A.10 10
1B. 53D. 5
310C.
10答案 C
解析 连接BA1，则CD1∥BA1，于是∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成的角(或补角)．设AB＝1，5＋2－1310
则BE＝2，BA1＝5，A1E＝1，在△A1BE中，cos∠A1BE＝＝，选C.
1025·25．(2015·浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a?平面M，b?平面N，M∩N＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )
A．0 C．2 答案 C
解析 命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.
6．ABCD为空间四边形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与( )
A．AC，BD之一垂直 C．AC，BD都不垂直 答案 B
解析 ∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN.
在等腰△ANC中，由M为AC的中点知MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.
7.如图所示，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：
B．AC，BD都垂直 D．AC，BD不一定垂直 B．1 D．3
①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交； ②过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直； ③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交； ④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行． 其中真命题是( )
A．②③④ C．①②④ 答案 C
B．①③④ D．①②③
kπ
解析 将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意不等于(k∈Z)的角度，所得的平面与直线AB，
2B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D，选C.
1
8.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列
2结论中错误的是( )
A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的面积与△BEF的面积相等 答案 D
解析 由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确． 由EF∥BD，EF?平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确． A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为故VA－BEF为定值，即C正确．
9.如图所示，是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
21
，且S△BEF＝BB1×EF＝定值， 22
①BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60°角； ④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ③④
解析 如图所示，把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，显然BM与ED为异面直线，故命题①不成立；而CN与BE平行，故命题②不成立．
∵BE∥CN，∴CN与BM所成角为∠MBE. ∵∠MBE＝60°，故③正确；∵BC⊥面CDNM， ∴BC⊥DM，又∵DM⊥NC，∴DM⊥面BCN. ∴DM⊥BN，故④正确，故填③④.
10．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
答案 ②④
解析 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G，H，N三点共面，但M?面GHN， 因此直线GH与MN异面； 图③中，连接MG，GM∥HN， 因此GH与MN共面；
图④中，G，M，N共面，但H?面GMN， 因此GH与MN异面．
所以图②，④中GH与MN异面．
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：
①直线AM与直线C1C相交； ②直线AM与直线BN平行； ③直线AM与直线DD1异面； ④直线BN与直线MB1异面． 其中正确结论的序号为________． 答案 ③④
解析 AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．
12.如图所示，在正四面体S－ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是________．
答案
3 6
解析 取AC中点E，连接DE，BE，
则BD与DE所成的角即为BD与SA所成的角． 设SA＝a，则BD＝BE＝
3aa，DE＝. 223
. 6
由余弦定理知cos∠BDE＝13．有下列四个命题：
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交平面α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面； ③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面；
④若a不平行于平面α，且a?α，则α内的所有直线与a异面． 其中正确命题的序号是________． 答案 ①②
解析 在①中，因为P，Q，R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与平面α的交线上，既P，Q，R三点共线，所以①正确．
在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A，B两点在该平面上，所以l?α，即a，b，l三线共面于α；同理a，c，l三线也共面，不妨设为β，而α，β有两条公共的直线a，l，所以α与β重合，即这些直线共面，所以②正确．
在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，所以③错．
在④中，由题设知，a与α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线l与a共面，所以④错． 14.(2015·上海徐汇二模)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．