略解：Ⅰ）假设an≥n+2则an-n≥2
∴ an+1=an(an-n)+1
≥2an+1≥2n+5＞n+2 于是我们不难用数学归纳法证得。
Ⅱ)由Ⅰ）知 an≥2an-1+1 an+1≥2（2an-1+1）≥?≥2an-1 （a1+1） ∴
11?an≤
12n?1
∴
11?a1+?+
11?an≤
122+
122+?+
12n?1
=
n1??1???1????4??2????11?2≤
12
这里对
11?an放缩到
12n?1很重要，从而和式+
12311?a1+
11?an+?+
11?an放缩为
可求和的等比数列前几项和
122+?+
12n?1。
（x≠），设数列?an?满足a1=1，
2005年辽宁卷，已知函数f（x）=
x?3x?1an+1=f（an），数列?bn?满足bn=│an-3│，Sn=b1+b2+…+bn (n∈N)
?Ⅰ）用数学归纳法证明b≤
n
3?12n?1?n
Ⅱ）证明Sn＜略证：Ⅰ）略
233
Ⅱ）由Ⅰ）知 bn≤所以Sn= b1+b2+…+bn
?3?12n?1?n
11
≤（
?3?1）+???3?1??2??2?+?+
n3?12n?1?n
=（3?1）·
?1????1?3?1??2??3?12＜（3?1）·
1?13?12=
233
类似的试题还有湖北T22，重庆T22，再把2005年湖南卷T22与2004年四川卷T22进行对比分析。
2004年四川T22，已知函数f（x）=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx，Ⅰ）求f（x）的最大值；Ⅱ）设0＜a＜b，证明：0＜g(a)+ g(b)-2 g(
a?b2)＜（b-a）ln2。应用导
数证明不等式的一个通行的方法就是设辅助函数，在本题中是在一个区间上证明不等式，而不等式涉及的变量就是区间的两个端点，因此设辅助函数时就要把其中一个端点设为自变量。先证明左端：设F（x）= g(a)+ g(x)- 2 g(
则F（x）=lnx-ln
a?x2＇
a?x2) （x＞0）
＇
，∵0＜x＜a时，F（x）＜0，x＞a时，F（x）＞0
a?b2∴F（x）min= F（a）, ∴F（b）＞F（a）=0即：0＜g(a)+ g(b)-2 g
。
再证不等式右端：设辅助函数G（x）=F(x)-(x-a)ln2，则G＇（x）=lnx-ln(x+a) ＜0,( ∵x＞0)，所以，G（x）是减函数G（b）＜G（a）=0即g(a)+ g(b)-2 g＜（b-a）ln2。
本题的考查引出了应用导数证明不等式另一个重要方法—设辅助函数，这
个方法在高等数学中应用非常广泛。本题的情境设计新颖，要求考生自己去研究、去探索、去发现、去解决，在考查创造性思维上进行了新的尝试。我们认为这个模式是很重要的。因此，我们在2005年高三数学第二轮复习中是作为重点复习的一个内容。因为我们感觉这种模式在湖南卷中出现是迟早的事情。果不其然，2005年湖南卷T21印证了我们的预见的正确性。2005湖南卷，已知函数f（x）=lnx，g(x)=
12a?b2ax2+bx(a≠0)。
Ⅰ）若b=2，且函数h(x)=f（x）- g(x)存在单调递减区间，求a的范围。 Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g (x)的图象C2交于点PQ，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，证明C1、C2分别在M、N处的切线不平行。
第Ⅰ）问很常规，此处从略。
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第Ⅱ）问设A（x1,y1）B(x2,y2) 0＜x1＜x2 则M、N的横坐标x=则C1，C2分别M、N处的切线斜率分别为：
2x1?x2a?x1?x2?bx1?x22，
2x1?x2，
a?x1?x2?b?b，用反证法，
假设=
?b
为此要联系C1，C2在交点处的函数值相等，所以下面的变形是自然的，即，
2x2?x1x2?x1??=a（x2-x221）+b(x2-x1)
a2=（
a2x2+bx2）-(
2x12+bx1)
=y2-y1=lnx2-x1=ln
x2x1
要证明
2(x2?x1)x2?x1?lnx2x1不成立（反正法要求）其方法与2004年四川卷的方
法相类似。
2(?x2x1?1)x2x12(t?1)1?t于是：ln
x2x1 设t=
x2x1则：lnt=
2(t?1)1?t (t＞1)
1?构造函数 r(t)=lnt- t＞1
下面证明r(t) ＞0在（1，+∞）上恒成立与2004年四川卷方法一样。（余下略）我们认为在以往的高考中，被专家门津津乐道的试题在近两年又重新涣发生机，如1999年数列函数压轴题（由折线函数衍生出数列），在2004年及2005年的各地高考卷中，这样的试题比比皆是。为什么会出现这种现象呢？因为这些模式能很好地考查考生几个方面的数学方法和思想，如化归转化、数形结合、函数方程，具体到抽象、特殊到一般，有限与无限等思想。
因此，我们对历史上发挥过重要作用的试题，按某侧重考查的内容分类，以指导高三数学实践是非常有现实意义的。
所谓“横”的分析方法，即对本年度全国各地试卷就同一内容的考查主要模
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式放在一起进行分析、归纳。如：搞清有关函数、数列、不等式交汇处，综合题有些什么主要模式，对这些模式的背景进行加工改造，保留其中的数学方法和思维形式，让学生模拟练习。特别是近两年湖南卷中未出现的模式就应更加引起重视。
这不是猜题、押题，因为现在全国16套试卷对同一内容考查试题的角度、视角、思维形式、数学方法，具体解题技巧都不尽相同，这就为我们分析题组，特别是函数、数列、不等式的压轴题组提供了广阔的空间。
以上是我在分析2005年数学卷的一些体会，不对之处请各位专家、同行批评指正。
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