温度荷载作用下双块式无砟轨道道床板有限元分析 - 图文(7)

武汉理工大学硕士学位论文界处的温度时未知的，而ｇ、彳、０为已知量。式（４．２ｂ）中包含有边界温度丁和温度梯度＿ＯＴ，是一种混合的边界条件，也称为第三类边界条件。式（４．２ｂ）中，如取工＝０，则在边界厂上有ＫＯＴ：ｇ（４．２ｃ）砌。其中Ｋ、ｇ为已知量。上式确定了结构边界厂处的温度梯度娶，这属于微分方程的第二类边界条件。如取扫ｇ＝０，则式（４．２ｂ）成为望＝０锄（４．２ｄ）这是一种绝热的边界条件，此时结构在边界处与周围介质间没有热交换，是保温情况最好的极限状态。由式（４．２ｂ）还可以得到产弓＝去（ｍ豢）可见，如取名一∞，可得加弓此时，结构边界厂处的温度趋于周围介质的温度。Ｚ是已知的，这也就相当于给定边界温度的第一类边界条件（４．２ａ）了。式（４．２ｂ）的混合边界条件是比较复杂的，其有限元分析也比较复杂。但是，当ｇ，彳取不同值时，式（４．２ｂ）可转化为各种边界条件，因而可按式（４．２ｂ）条件统一编制有限元程序，可以适应各种边界条件。有时平面结构边界的不同部位可对应有不同的边界条件，此时按式（４．２ｂ）编制程序，在不同边界部位给以不同的ｇ，彳和乃值就可以了，这是相当方便的。４．３平面热应力物体温度改变时，其几何尺寸将发生变化。例如原长为，的等截面杆件，由温度Ｔｏ变为７＇时，伸长量为Ａｔ＝ａ（ｒ－ｒｏ）ｔ武汉理１＝大学硕十学位论文其中ａ为物体线膨胀系数。此时由于温度改变而引起的热应变则为２口△ｌ白：了Ａ／：口（ｒ—ｔｏ）ｔｏ）：口△ｒ白２了２口【ｌ一△丁可称为温升。对于三维物体，有温升时，显然沿ｘ，ｙ，ｚ三个方向都会有膨胀（或收缩）。对一个各向的三维体素ｄｘｄｙｄｚ，由温升△ｒ而引起的热应变为￡ｄ＝￡盯＝ｓ幔＝ａＡＴ２２０％ｒ２‰ｒＴ＝ｒ可见，对于自由的小体素，温升只引起线应变（线膨胀），面不引起剪应变。当物体各部分有同样的温升时，其热膨胀是均匀的，如此物体不受外界约束，则处于一种各方向都相同的常应变状态。这是一种自由的热变形，并没有内部应力。当物体受热又受外界位移约束，或内部受热不均时，其热变形收到外界的限制或内部各部分间的相互制约而不能实现自由的热变形。这时物体处于一种有内部应力的状态，总应变应为热应变与弹性应变之和。结构由于温度改变而引起的内部应力称为热应力，用位移法分析结构热应力，应先按温度场的改变计算热变形，进而计算热应力。４．４平面热变形计算一个平面结构受热而有温度改变时应发生形状的变化，平面内各点都有一定的位移，如点沿ｘ，ｙ轴的位移为材，＇，，则应变与位移关系仍为——０Ｕ．ＯｘＨ督．ａＵ——砂ａ蚕｛Ｕｖ）（４．３）砂缸但这里的应变应为总的应变，是受力与热膨胀两部分之和，即｛ｇ｝＝｛ｓ｝￡＋Ｈｒ其中｛ｓ｝Ｅ为弹性应变，｛ｇ｝ｒ为热应变。如以△？表示温升，各向同性的线膨胀武汉理工人学硕士学位论文系数为ａ，则平面的热应变应为斜ｒ＝［ａＡＴａＡＴＯ］ｒ弹性应变｛ｓ｝层显然是由于弹性应力而引起的，应力与弹性应变的关系仍为｛仃｝＝【Ｄ】｛ｓ｝Ｅ。由于｛ｓ｝层＝｛Ｆ｝一（ｇ）ｒ因而应力与总应变的关系为㈦＝【Ｄ】（Ｈ—Ｈｒ）其中【Ｄ】为平面问题弹性系数矩阵，与一般平面问题相同。（４．４）用有限元法分析平面热应力问题，可用同样的单元，用同样的形状函数，以节点温升和节点位移插值出单元内部的温升△２’和位移，即取△ｒ＝【ⅣＬ｛△ｒ｝。｛：）＝【Ⅳ】｛万｝‘这里｛△ｒ｝。为单元节点温升列阵，｛万）。为单元节点位移列阵。平面问题中，任一节点ｉ有两项位移分量吩，Ｍ，但只有一个温升升ＡＴ。采用同样的单元，插值温升与位移的形状函数Ｍ是一样的，但两者的形状函数矩阵则是不相同的。这里把位移的形状函数矩阵记为【Ⅳ】，把对温升的形状函数矩阵记为【ⅣＬ，以示区别。结构受热，发生的热应变｛ｇ｝ｒ是不会贮存有弹性能的。弹性能只是由弹性应变｛ｓ）层而引起的，因而Ｐ单元的弹性能为Ｕ。＝乩Ｈ：【Ｄ】｛ｇ｝￡ｄＶ＝万１工，（｛ｇ）一Ｈｒ）ｒ【Ｄ】（｛占卜｛ｓ｝ｒ）ｄ矿三工。｛占）ｒ【。】｛ｓ）ｄ矿＋ｊ１工，｛占）：【。】｛ｇ）ｒｄＶ—ｊ１工。（｛占）ｒ【Ｄ】｛ｓ）ｒ＋｛Ｆ）；【。】｛占｝）ｄｙ武汉理工大学硕士学位论文注意到Ｕ‘为数量，有｛ｓ｝ｒ【Ｄ】Ｈｒ＝｛ｓ｝；【Ｄ】｛ｇ｝则ｅ单元弹性应变能为【，‘＝ｊ１Ｉ。｛ｓ｝ｒ【Ｄ】｛ｇ｝ｄｒ一￡。｛ｓ）ｒ【Ｄ】｛ｓ｝ｒｄＶ＋ｊ１￡。｛ｓ）；【Ｄ】｛￡｝ｒｄｙ（４．５）＝昙ｐ｝ｒ时ｐ｝一∥｝ｒ｛Ｑ｝；＋ｃ其中时＝Ｌｐ九Ｄ】㈣ｄ矿为单元刚度矩阵，其意义和计算与一般弹性变形问题相同。而㈣；＝工。ｐ九Ｄ怍）ｒｄＶ（４．６）是由于单元受热膨胀而形成的相当荷载，称热荷载。式（４．５）的最后一项ｃ＝ｉ１『｛占｝ＸＤＭｒｄＶ它只与单元温升有关，不显含节点位移｛万｝‘，因而与以后的变分计算无关，可以舍去不记。如平面结构只受热而不受外载荷作用，没有外力势能，则势能极小原理为阳＝万（∑矿）＝ｏ以式（４．５）带入，其极值条件为一＝一ｌ丽ｃｇＵａ｛８＝矗（∑矿）＝ｏ｝ａ｛田恤。，。７ｌ，－＝Ｕ可以得到陋】｛万｝＝｛Ｑ｝ｒ其中（４．７），【Ｋ】＝∑【七ｒ为结构总刚度矩阵。而右端项｛Ｑ｝ｒ＝∑㈣；为全部单元热载荷的叠加，是结构由于受热膨胀而形成的相当节点载荷列阵。如果结构在受热的同时还另外承受其他外载荷（如重力、压力、集中力），武汉理工大学硕士学位论文应将这些外载荷分配到各节点，再加入式（４．７）的右端，求解在受热及外载荷联合作用下的节点位移。４．５热应力计算计算结构受热而引起的变形时，先把材料受热而发生的热应变转化为一个相当的热载荷｛Ｑ）ｒ，再按一般的弹性变形问题求解。例如，一端固定、另一端自由的细梁，长为，，温升为△ｒ时，有热膨胀口＝ａＡＴＩ这个变形也可以认为是相当热载荷ｇ＝ａＡＴＥＡ作用下引起的弹性伸长，这里Ａ为梁截面积，Ｅ为弹性模量。如果既有温升ＡＴＹ．．受拉力Ｐ作用，梁的伸长显然就是在ｇ＋尸作用下的弹性伸长了。但是，在温升时，结构有应变并不对应有应力。”如上所述，当只有温升△ｒ时，虽有伸长量心，有热应变岛：＿ＡＴ，但其应力却为零。应力对应于弹性应变，对应于总应变与热应变的差值。用有限元方法，求解位移方程（４．７）后，为求单元应力，应先求出单元总应变｛ｓ｝＝【Ｂ】｛万｝‘再按单元温升求得单元热应变｛占｝ｒ之后，才能求得应力｛仃）＝Ｍ（Ｈ一∽ｒ）总之，用有限元法分析结构的热应力时，应先分析各单元的温度变化，形成相当热载荷｛Ｑ｝ｒ，与外力载荷一起求解节点位移。计算单元应力时，又须按、单元温升计算热应变，由总应变减去热应变才能求解应力。