运动学正解（where）：根据关节变量qi的值，计算机器人末端抓手或工具相对于工作站的位姿。（对于每一组关节变量值，有唯一确定的解，求解简单。）运动学反解（solve）： 为了使机器人所握工具相对于工作站的位姿满足给定要求，计算相应的关节变量。运动学反解的几个重要特征： a、将问题细分成几个子问题b、每个子问题可能无解、有一个解或多个解（与执行的形体有关）c、如果某个子问题有多解，整个求解过程应考虑对应子问题每一个解的情况。求解方法： Paul的反变换法，Lee几何法和Pieper的方法。6个自由度的机器人具有封闭反解的充分条件（Pieper准则）(1) 三个相邻关节轴交于一点；（PUMA、Stanford机器人）(2) 三个相邻关节轴相互平行；（ASEA，MINIMOVER机器人）对于满足
003T?TT36PUMA），运动学方程可分解为6条件（1）的机器人（如式中： 规
定腕部参考点的位置， 规定腕部的方位。求解步骤：（1）腕部位置的反解，依次解出?3→ ? 2→ ? 1，主要利用消元法和三角函数中的几何代换公式，将超越方程→代数方程.（2）腕部方程的反解，求出数值，利用相对应的欧拉角求解方法。机器人操作臂运动学反解的数目决定于：关节数目连杆参数和关节变量的活动范围。 一般而言，非零连杆参数愈多，运动学反解的数目愈多。例如PUMA 560最优解：如何从多重解中选择一个最优解？最优准则？寻求方法？ 在避免碰撞的前提下，通常按“最短行程”准则——使每个关节的移动量为最小。对于典型工业机器人应遵循“多移动小关节、少移动大关节”的原则。
第四章主要学习操作臂的雅可比。位移分析：第三章的运动学分析：速度分析：操作空间速度与关节空间速度 之间的线性映射关系 ——雅可比矩阵 J (q) 力
分 析：末端操作力与各关节驱动力之间的线性映射关系——力雅可比矩阵JT(q)操作臂的雅可比矩阵是指操作速度与关节速度的线性变换。
奇异形位(singular configuration)：操作臂的雅可比矩阵的秩减少的形位（数学上）；操作臂在操作空间的自由度将减少（物理上）。雅可比矩阵的行列式判别奇异形位：
det(J(q))?l1l2s2。当?2=0 或? 2=180时，雅可比行列式为0，
矩阵秩为1，因而处于奇异状态。从几何上看，机械手完全伸直(? θ2=0)，或完全缩回(? θ 2=180)，机械手末端不能实现径向自由度，只能沿切向运动。奇异时，自由度减少。而微分运动与广义速度则指出刚体或坐标系的微分运动包
含微分移动矢量 d 和微分转动?。d 由沿三个坐标轴的微分移动组成；由绕三个坐标轴的微分转动组成。雅可比矩阵的构造法：雅可比矩阵J(q) ：既可当成是从关节空间向操作空间的速度传递的线性关系也可看成是微分运动转换的线
?v??Jl1?????J???a1Jl2Ja2???1??q?2?Jln??q???Jan???????n??q性关系因此，可将雅可比J(q)分块，
?1?Jl2q?2???Jlnq?n?v?Jl1q???1?Ja2q?2???Janq?n?w?Ja1q
PUMA560的雅可比的计算有一、用微分变换法计算TJ(q)二、用矢量积方法计算
?f?F????n? 其中 ，f ——力，n ——力矩 末J(q)。力雅可比末端广义力矢量
?d?D?????? 其中，d——微分移动，在静态条件下，广义操作力矢端广义虚位移
量应与各关节的驱动力相平衡
利用虚功原理，可以导出关节力矢量和广义力矢量之间的关系。总虚功为零。同
样也表示操作臂的力雅可比就是它的运动雅可比转置。可以看出力雅可比与运动雅可比之间的紧密关系——对偶关系。J(q) 是 m*n 阶矩阵，n 表示关节数，m 表示操作空间的维数。对于给定的q，J(q) 的值域空间 R(J(q))
表示关节运动能够产生的全部操作速度的集合第五章主要学习了操作臂动力学。动力学研究的是物体运动和受力之间的关系：动力学正问题——根据关节驱动力或力矩，计算操作臂的运动(位移、速度和加速度）动力学逆问题——根据轨迹运动对应关节的位移、速度和加速度，计算所需的关节力或力矩动力学建模方法主要有：拉格朗日——Lagrange方法：牛顿-欧拉——Newton-Euler方法，高斯——Gauss方法，凯恩——Kane方法，旋量对偶数方法，罗伯逊-魏登堡——Roberson-Wittenburg方法。
牛顿-欧拉——Newton-Euler方法 ————基于运动坐标系和达朗贝尔原理的优缺点：没有多余信息，计算速度快建立复杂系统比较麻烦同时动力学研究的目的也是利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标 操作臂动力学：复杂的动力学系统——多连杆、多输入、多输出系统，耦合关系和非线性。多体系统动力学——多刚体系统和刚-柔耦合多体系统。由旋转通式(2.58)可知，R(t+⊿t)可看成R(t)在时间间隔⊿t内绕某轴k 转动微分角度得到
?kxkxVers??c??R(?,?)??kxkyVers??kzs??kxkzVers??kys??kykxVers??kzs?kykyVers??c?kykzVers??kxs?kzkxVers??kys???kzkyVers??kxs??kzkzVers??c???两端除以⊿t，并取极限，可以定义角速度算子矩阵：
?k????0?0?kz?y?????S(?)??kz?0?kx?????z?k????ky??0?x?????y刚体的速度和加速度表示为：
A??z0?y????x??x0??
ABABABAB?B)B?p?Av?B0?B?p?2S(A?B)BvRvRvp?S(A?Rp?S(A?B)S(A?B)BRp根据不同的情况可以对上式进行简化：{A}固定不动，刚体与{B}固接；{B}只相对于{A}移动；{B}只相对于{A}滚动
而关节驱动力或力矩计算各连杆所承受的力和力矩向量中，某些分量由操作臂本身的连杆结构所平衡， 一些分量由各关节的驱动力或力矩所平衡
力雅可比矩阵的递推方法类似于速度雅可比矩阵递推法。对于连杆静力学分析，静力分析：首先考虑一个连杆i，然后建立该连杆的力和力矩平衡方程，力雅可比矩阵的递推方法类似于速度雅可比矩阵递推法操作臂动力学的研究有很多方法拉格朗日——Lagrange方法牛顿-欧拉——Newton-Euler方法高斯——Gauss方法凯恩——Kane方法旋量对偶数方法罗伯逊-魏登堡——Roberson-Wittenbrug方法本节用运动（速度和加速度）递推和力递推来建立操作臂动力学方程并讨论动力学逆问题的求解方法
一、牛顿-欧拉方程：操作臂=刚体 质心加速度，总质量 m 与产生这一加速度的作用力 f 之间满足牛顿第二定理：
?cf?mv当刚体绕过质心的轴线旋转时，角
速度，角加速度，惯性张量 ，与作用力矩之间满足欧拉方程：
?????cI??n?cI?惯性张量 ——表示刚体质量分布的特征，其值与选取的
参考值坐标系有关。若所选取的坐标系{c} 的方位使各惯性积均为零惯性张量变成对角型 则此坐标系的各轴称为惯性主轴，相应的质量惯性矩称为主惯性矩。动力学逆问题根据关节位移、速度和加速度。求所需的关节力矩或力。整个算法由两部分组成：向外递推：计算各连杆的速度和加速度。，由牛顿-欧拉公式计