小费用，满足
( ) min[ ( , ) ( )], , ,1. f x v x u f 1 x 1 k n L k k u U k k k k k
k k
= + = ∈ + +
其中允许决策集合k U 由每阶段的最大生产能力决定。若设过程终结时允许存储量为
0
x ，则终端条件是 ( 0 ) 0.
1 1 = n+ n+ f x （7）
n+1
（5）~（7）构成该问题的动态规划模型。 5.3 资源分配问题
一种或几种资源（包括资金）分配给若干用户，或投资于几家企业，以获得最大的 效益。资源分配问题（resource allocating Problem）可以是多阶段决策过程，也可以是 静态规划问题，都能构造动态规划模型求解。下面举例说明。
例5 机器可以在高、低两种负荷下生产。u台机器在高负荷下的年产量是g(u)， 在低负荷下的年产量是h(u) ，高、低负荷下机器的年损耗率分别是1 a 和1 b
（0 1 1 1 h(u) = βu（α>β>0），即高、低负荷下每台机器的年产量分别为α和β，结果将
有什么特点。
解年度为阶段变量k = 1,2,L, n。状态k x 为第k 年初完好的机器数，决策k u 为 第k 年投入高负荷运行的台数。当k x 或k u 不是整数时，将小数部分理解为一年中正常 工作时间或投入高负荷运行时间的比例。
机器在高、低负荷下的年完好率分别记为a 和b ，则1 a = 1?a ，1 b = 1?b ，有 a ( , ) ( ) ( ) k k k k k k v x u = g u + h x ?u （9） 指标函数是阶段指标之和，最优值函数( ) k k f x 满足 0 , , ,2,1. ( ) max [ ( , ) ( )], 0 1 1 x m k n L f x v x u f x k k k u x k k k k k k k ≤≤ = = + ≤≤ + + (10) 及自由终端条件 ( ) 0, 0 . 1 1 1 f x x m n n n = ≤≤+ + + （11） 当k v 中的g, h用较简单的函数表达式给出时，对于每个k 可以用解析方法求解极 值问题。特别，若g(u) =αu ，h(u) = βu，（10）中的[ ( , ) ( )] k k k k 1 k v x u f x + + 将是 k u 的线性函数，最大值点必在区间k k 0 ≤u ≤x 的左端点= 0 k u 或右端点k k u = x 取得， 即每年初将完好的机器全部投入低负荷或高负荷运行。 §6 具体的应用实例 例6 设某工厂有1000 台机器，生产两种产品A、B，若投入x台机器生产A产 -64- 品，则纯收入为5x ，若投入y 台机器生产B种产品，则纯收入为4y，又知：生产A种 产品机器的年折损率为20%，生产B 产品机器的年折损率为10%，问在5 年内如何安 排各年度的生产计划，才能使总收入最高？ 解年度为阶段变量k = 1,2,3,4,5。 令k x 表示第k 年初完好机器数，k u 表示第k 年安排生产A 种产品的机器数，则 k k x ?u 为第k 年安排生产B种产品的机器数，且k k 0 ≤u ≤x 。 则第k +1年初完好的机器数 x (1 0.2)u (1 0.1)(x u ) 0.9x 0.1u 1 = ? + ?? = ?+ （12） 令( , ) k k k v x u 表示第k 年的纯收入，( ) k k f x 表示第k 年初往后各年的最大利润之 k k k k k k 和。 显然 ( ) 0 6 6 f x = （13） 则 ( ) max { ( , ) ( )} 0 1 1 ≤≤ + + = + k k u x k k k k k f x v x u f x k k max {5 4( ) ( )} max { 4 ( )} 0 1 1 0 1 1 ≤≤ + + ≤≤ + + = + ? + = + + u x k k k k k u x k k k k u x u f x u x f x k k k k （14） （1）k = 5时，由（13）、（14）式得 ( ) max { 4 } 5 5 0 5 5 5 5 f x u x u x = + ≤≤ u + 4x 关于5 u 求导，知其导数大于零，所以5 5 u + 4x 在5 u 等于5 x 处取得最大值， 即5 5 u = x 时，5 5 5 f (x ) = 5x 。 （2）k = 4时，由（12）、（14）式得 ( ) max { 4 5 } 4 4 0 4 4 5 5 5 4 4 f x u x x u x = + + ≤≤ max { 4 5(0.9 0.1 )} max {0.5 8.5 } 0 4 4 4 4 0 4 4 4 4 4 4 u x x u u x u x u x = + + ? = + ≤≤≤≤ 当4 4 u = x 时，4 4 4 f (x ) = 9x （3）k = 3时， ( ) max { 4 9 } 3 3 0 3 3 4 3 3 f x u x x u x = + + ≤≤ max { 4 9(0.9 0.1 )} max {0.1 12.1 } 0 3 3 3 3 0 3 3 3 3 3 3 u x x u u x u x u x = + + ? = + ≤≤≤≤ 当3 3 u = x 时，3 3 3 f (x ) = 12.2x （4）k = 2时， ( ) max { 4 12.2 } max { 0.22 14.98 } 2 2 0 2 2 3 0 2 2 2 2 2 2 f x u x x u x u x u x = + + = ? + ≤≤≤≤ 当0 2 u = 时，2 2 2 f (x ) = 14.98x 。 （5）k = 1时， ( ) max{ 4 14.98 } max{ 0.498 17.482 } 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 f x u x x u x u x u x = + + = ? + ≤≤≤≤ 当0 1 u = 时，1 1 1 f (x ) = 17.482x 。因为 1000 1 x = （台） -65- 所以由（12）式，进行回代得 0.9 0.1 900 2 1 1 x = x ?u = （台） 0.9 0.1 810 3 2 2 x = x ?u = （台） 0.9 0.1 648 4 3 3 x = x ?u = （台） 0.9 0.1 518.4 5 4 4 x = x ?u = （台） 注：518.4 5 x = 台中的0.4 台应理解为有一台机器只能使用0.4 年将报废。 例7 求解下面问题 3 2 max z = u u u ??? ≥ = + + = > 0 1,2,3 ( 0) 1 2 3 u i u u u c c 1 2 i 解：按问题的变量个数划分阶段，把它看作为一个三阶段决策问题。设状态变量 为1 2 3 4 x , x , x , x ，并记x = c 1 ；取问题中的变量1 2 3 u ,u ,u 为决策变量；各阶段指标函数 按乘积方式结合。令最优值函数( ) k k f x 表示第k 阶段的初始状态为k x ，从k 阶段到3 阶段所得到的最大值。 设3 3 x = u ，3 2 2 x + u = x ，x + u = x = c 2 1 1 则有 3 3 u = x ，2 2 0 ≤u ≤x ，1 1 0 ≤u ≤x ( ) max{ } 用逆推解法，从后向前依次有 3 3 3 3 3 3 f x u x u x = = = 及最优解3 * u = x ( ) max { ( )} max { ( )} max ( , ) 2 2 0 2 2 2 3 2 3 3 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 f x u f x u x u h u x ≤u ≤x ≤u ≤x ≤u ≤x = = ? = 由2 3 2 0 2 2 2 2 = u x ?u = du dh ，得2 2 3 u = 2 x 和0 2 u = （舍去） 2 又2 2 2 2 2 2 2x 6u du d h = ?，而2 0 2 3 2 2 2 2 2 2 2 = ?< = x du d h u x ，故2 2 3 u = 2 x 为极大值点。 所以3 27 f (x ) = 4 x 及最优解2 2 2 2 * 3 u = 2 x 。 ( ) } 27 ( ) max{ ( )} max{ 4 3 2 1 1 0 1 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 f x u f x u x u u x u x = = ? ≤≤≤≤ 同样利用微分法易知4 1 1 1 64