参考答案及评分说明
一、选择题
ACDBB DBACC
第10题解答（此题为2014年全国数学联赛试题）：
过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x， 在Rt△A1BM中，
，∴
=
，
∴x =A1M=
二、填空题
，∴在等腰Rt△A1CM中，C A1=.
11、a(a?1)(a?1) 12、1.4×107 13、
19 14、或34 （先求出a=40，m=1再计算）
15、（5，0）解答如下： 由题意得：
，解得：
，∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，将A（1，6）代入得：k=6，则反比例解析式为y=； 设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°， 连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=（BC+AD）?DC﹣DE?AD﹣CE?BC=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1 = 16、
﹣x=5，解得：x=5，则E（5，0）．
1 33 (b的值、x的范围各占4分) 217、b=3, x?18、证明：(1)∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE． 在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，
△ABE≌△ACE．∴BE＝CE． （运用垂直平分线的性质说明也可） -------（4分） (2)∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由(1)知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF． 在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF， ∴△AEF≌△BCF． -------（4分）
19、解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（作图3分，坐标1分） （2）如图所示，P点的对应点P′的坐标为（﹣a，-b）．（作图2分，坐标2分）
6
20、解：（1）根据题意得：30÷50%=60（名），“了解”人数为60﹣（15+30+10）=5（名）， “基本了解”占的百分比为
×100%=25%，占的角度为
25%×360°=90°，
补全条形统计图如图所示： （2）根据题意得：900×
=300（人），
则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程
度的总人数为300人； （3）列表如下： 剪 石 布 剪 （剪，剪） （石，剪） （布，剪） 石 布 （剪，石） （剪，布） （石，石） （石，布） （布，石） （布，布） 所有等可能的情况有9种，其中两人打平的情况有3种， 则P==．
21．（1）证明：如图，连结OP
∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ∴△APO≌△BPO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO=90° ∴PB是⊙O的切线 -------（4分） （2）cos?=
_ A_ QAO4= ∴AO=12 OQ5_ P
_ O ∵易证△QPB∽?QOA ∠BPQ=∠AOQ=? ∴tan∠BPQ=BQ3= ∴PB=36 PO=1210 PB4136 ∵AB?PO= OB?BP ∴AB=----------（8分） 1025 22、（1）W?(x?18)y?(x?18)(?2x?100)??2x?136x?1800 ∴W与x之间的函数解析式为W??2x?136x?1800；------（3分）
7
2B _
（第21题图）
22（2）由W?350，得350??2x?136x?1800，
解这个方程得x1?25,x2?43。所以，销售单价定为25元或43元， 由W??2x2?136x?1800??2(x?34)2?512，得：
当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；（7分） （3）结合（2）及函数W??2x?136x?1800的图象（如图所示）可知， 当25≤x≤43时W≥350，
又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质， 得y??2x?100中y随x的增大而减小，
∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．--------------（10分）（可不画图，叙述有理即可） 23、（1）①证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，--------------（1分） 在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（SAS），--------------（2分） ∴AF=BE，∠ABE=∠CAF． 又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP， ∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°． ∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．--------------（3分） ②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，--------------（4分） ∴△APE∽△ACF， --------------（5分） ∴
，即
，所以AP?AF=12 --------------（6分）
2（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况． ①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，-----------（7分） ∴∠AOB=120°，又∵AB=6， ∴OA=， 点P的路径是
．-----------（8分）
②当AE=BF时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；-----------（9分） ∵等边三角形ABC的边长为6，∴点P的路径的长度为：所以，点P经过的路径长为
或3
．-----------（10分）
．
8
24、解：（1）∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0）， ∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），
2
∵抛物线y=ax+bx经过A（4，0），B（1，3）， ∴
，解得：
，∴a=﹣1，b=4；-------（3分）
（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E， ∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4， ∴AD=3，∴AD=BD， ∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°， ∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°， ∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°， ∴NF=PF=t， ∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC， ∴∠MPF=∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD， ∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴=
=3，
∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t； -------（7分）
（3）四边形OMNB的面积有最小值．
设OP=m，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM， 再证△OAN≌△ACM(SAS)，可知CM＝AN＝AP， -------（9分）
3×42=43，∴CM=AN= AP=4－m，CN=OP=m， 4过M作MF⊥AC,垂足为F,
AB= BC= 4， S△ABC=则MF=MC?sin60o=∴S△CMN=
3(4?m)， 21331CN?MF=m?(4?m)=?m2?3m，
242232m?3m） 4∴S=S△OAC－S△CMN =43－（?=3(m?2)2?33 4∴在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最小值为33. -------（12分）
9