课后作业(三十六) 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、选择题
1．不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的范围是( ) A．a<5 B．a≥8
C．5≤a<8 D．a<5或a≥8
2．(2013·济南调研)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
4
A．－4 B．0 C. D．4
3
x3．(2013·黄山质检)设二元一次不等式组错误!所表示的平面区域为M，使函数y＝a(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．[1，3] B．[2，10] C．[2，9] D．[10，9]
4．(2012·辽宁高考)设变量x，y满足错误!则2x＋3y的最大值为( ) A．20 B．35 C．45 D．55
5．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域错误!上的一个动点，→→
则OA·OM的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[－1，2]
6．(2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 二、填空题
7．已知点P(x，y)满足错误!定点为A(2，0)，则|错误!|sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为________．
8．(2012·浙江高考)设z＝x＋2y，其中实数x，y满足错误!则z的取值范围是________． 9．已知变量x，y满足约束条件错误!若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围为________．
三、解答题
10．当x，y满足约束条件错误!(k为负常数)时，能使z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．
11．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的
1
价格c如下表：
A B a 50% 70% b(万吨) 1 0.5 c(百万元) 3 6 某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，求购买铁矿石的最少费用为多少百万元？
12．若x，y满足约束条件错误!
(1)求目标函数z＝11
2x－y＋2
的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0) 处取得最小值，求a的取值范围．
故所求实数a的取值范围是(－4，2)．
解析及答案
一、选择题 1．
【解析】 如图，错误!的交点为(0，5)，错误!的交点为(3，8)， ∴5≤a<8. 【答案】 C 2．
【解析】 错误!表示的平面区域如图所示． z＝3x－y在(2，2)取得最大值． zmax＝3×2－2＝4. 【答案】 D 3．
2
【解析】 作二元一次不等式组的可行域如图所示，由题意得A(1，9)，C(3，8)．
x当y＝a过A(1，9)时，a取最大值，此时a＝9；
x当y＝a过C(3，8)时，a取最小值，此时a＝2，∴2≤a≤9. 【答案】 C 4．
【解析】 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时2x＋3y的值最大，此时2x＋3y＝55.
【答案】 D 5．
→→
【解析】 作出可行域，如图所示，OA·OM＝－x＋y.
设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1，1)时，z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0，2)时，z有最大值，zmax＝0＋2＝2，
→→
∴OA·OM的取值范围是[0，2]．
【答案】 C 6．
【解析】 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，则 错误!且z＝300x＋400y.
作出可行域，如图阴影部分所示．
3
作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时， z＝300x＋400y取最大值， 由错误!
得错误!∴A(4，4)，
∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800. 【答案】 C 二、填空题 7．
→
【解析】 可行域如图阴影部分所示，A(2，0)在x正半轴上，所以|OP|·sin∠AOP22
即为P点纵坐标．当P位于点B时，其纵坐标取得最大值. 5
【答案】
22 5
8．
【解析】
不等式组表示的可行域为如图阴影部分，作出直线l0：x＋2y＝0，当直线l0经过点(0，0)时，z取最小值，此时z＝x＋2y＝0.
当平移直线l0经过x－y＋1＝0与x＋y－2＝0的交点时，z取最大值． 解不等式组错误!得错误!此时z＝x＋2y＝错误!.
7
因此z的取值范围是[0，]．
27
【答案】 [0，] 29．
【解析】 由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l：ax＋y＝0，过(3，0)点作l
4
的平行线l′，则直线l′介于直线x＋2y－3＝0与过(3，0)点与x轴垂直的直线之间，因此，－a＜－11
2，即a＞2
.
【答案】 (1
2，＋∞)
三、解答题 10．
【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)． 当直线y＝－13x＋1
3z经过区域中的点A时，截距最大．
又错误!得x＝y＝－错误!. ∴点A的坐标为(－k，－k33
)．
则z的最大值为－k3＋3(－k3)＝－4
3
k，
令－4k3＝12，得k＝－9.
∴所求实数k的值为－9. 11．
【解】 设购买铁矿石A为 x万吨，购买铁矿石B为y万吨，总费用为z百万元．根据题意得 错误!
整理为错误!
线性目标函数为z＝3x＋6y 画可行域如图所示：
当x＝1，y＝2时，z取得最小值， ∴zmin＝3×1＋6×2＝15(百万元)．
故购买铁矿石的最少费用为15百万元． 12．
5
【解】 (1)作出可行域如图，可求得A(3，4)，B(0，1)，C(1，0)． 平移初始直线1
2x－y＝0，过A(3，4)取最小值－2，过C(1，0)取最大值1.
∴z的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1，0)处取得最小值． 由图象知，－1＜－a2
＜2.
解之得－4＜a＜2.
故所求实数a的取值范围是(－4，2)．
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