kkHuk?H0Hlk?H0 （4.2.37） Qu?KVA0；Ql?KVA0zu?z0z0?zl式中：KV?Kz为含水层的垂向渗透系数；zu?z0?Lu，为节点u与节点0的高差；
zu?zl?Ll，为节点l与节点0之间的高差[图4.5（b）]。
Lu第1层5uLii=4wiN=6第2层wi31第3层zyLlx2l(a)
(b)
图4.5 三维分层多边形网格及其节点控制区
在式（4.2.36）中，计算侧向流量Qi时应使用水平渗透系数KH=Kx=Ky（仅考虑横观各向同性条件），每个节点控制区都可以计算出等效的导水系数，形如
T0?11KH(Lu?Ll)?KH(zu?zl) （4.2.38） 22在计算侧向流量时使用调和平均的导水系数，即
Qi?2TTki0wi(Hik?H0) （4.2.39）
Ti?T0Li把式（4.2.39）和式（4.2.37）代入式（4.2.36）可得三维网格地下水流的差分方程。
四、地下水流控制条件的差分方程
在建立了内部节点的差分方程之后，还必须建立地下水流控制条件的差分方程，包括边界条件和某些特殊的水文地质条件，其方法是建立具有不同边界类型的边界节点的差分方程，同时对某些具有特殊水文地质条件的内部节点改写差分方程。常见的控制条件包括以下类到。
（1）已知水头边界
如果节点在已知水头边界上，则直接把计算时刻的已知水头赋予该节点。 （2）已知流量边界
如果一个节点在已知流量或流速的边界上，则应把边界流量纳入差分方程（4.2.25）的外部补给项Qa之中。设边界上的单宽流量为q，沿着x坐标轴方向，则对于矩形网格图4.6（a）中的节点0，外部补给项计算为
Qa?q?y0 （4.2.40）
而差分方程（4.2.26）变为
kk C0Hk0?C1H?1?C2H2k （4.2.41） C3H?3 F式中：F已经包含了外部补给项Qa.对于多边形网格图4.6（b）中的节点O，流向控制区的边界流量需要根据控制区外侧边在y轴上的投影长度△L8计算，即
Qa?q?Ls （4.2.42）
节点1和节点4都属于边界节点。节点0的控制区对应的水流差分方程仍然保持式（4.2.35）。
图4.6 已知流量边界上的节点
（3） 越流控制条件
如果要模拟第一类越流系统的地下水流，且只把承压含水层作为模拟层，则越流需要考虑在外部补给项Qa中，即
Qa?KckA0(Hc?H0) （4.2.43） mc式中：Kc和mc分别为弱透水层的垂向渗透系数和厚度；Hc是作为补给源的含水层的固定水头；A0为节点0所在矩形单元或控制区的面积。对于矩形多边形网格，越流量Qa加入方程（4.2.25）中，但由于其中含有待求变量——节点0的水头，差分方程（4.2.26）中的系数C0和常数项F需要修改为
Kc?xi?yjS0 （4.2.44） C??(C1?C2?C3?C4)??tkmc?tk'k?1Kc?xi?yjQaS0H0F???Hc （4.2.45）
?xi?yj?tkmc?tk'式中：Qa是除了越流量以外其他的外部补给流量。
（4） 潜水面
在三维有限差分模型中，具有潜水面的模拟层一般被作为顶层处理，其特殊之处在于导水系数T用地下水饱和厚度计算，而地下水储存量的变化部分用给水度SY计算，导致模拟层的节点差分方程为非线性方程，可用显示法、预测-校正法或迭代法求解。在实际模拟过程中，往往还有可能出现顶部模拟层被疏干、而潜水面移动到下部模拟层的现象，需要进行技术上的处理。目前，不同的专业模型软件对此具有不同的处理方法，如MODFELOW模型中使用Wetting和Drying模块技术。
（5） 井孔
井孔在模拟含水层-井孔系统地下水流时，是最重要的控制条件之一。然而，常规的有限差分模型在处理抽水井和定降深井方面存在缺陷，需要进行校正，具体方法见下一小节。
（6） 其他特殊条件
地下水与河流、湖泊和泉点等的相互作用，降水入渗补给以及潜水的蒸发排泄等，都是需要在有限差分模型中处理的特殊条件。各种处理方法属于地下水流数值模拟的专门技术，反映了模拟者对这些特殊条件下地下水流物理机制的认识。
五、地下水流差分模型的井孔校正
常规的地下水流数值模型一般仅仅把井孔的抽水流量以外部补给项Qa（抽水为负）的形式加入差分方程，虽然可以反映抽水井对周围节点的影响，但抽水井本身所在位置的水头结果不正确。另外，对于定降深井，如自流井，常规的做法是直接把井孔的已知水头设置到所在的节点上，但计算得到的井流量不正确。这是一种“算不准”现象，即已知流量的井孔算不准井孔水头，而已知水头的井孔算不准井孔流量。为了解决“算不准”问题，需要对常规的有限差分模型进行校正。
关于抽水井的问题，Prickett（1967）、Peaceman（1978）和陈崇希等（1989）已经指出有限差分模型中井点单元（well-block）的计算水头不等于井孔中的水头，通过引入井孔附近稳定流或拟稳定流的解析解，提出了校正公式。以正方形网格为例（图4.7），校正公式（陈崇希等，1989）为
Hw?Hi,j?Qw?x?(ln?) （4.2.46） 2?Trw2可以通过引入一个等效半径req来改写这个公式，即
reqQwHw?Hi,j?ln （4.2.47）
2?Trw其含义是：差分模型求解得到的井点单元水头，相当于距离井心为req处的水头，并非实际的井孔水头。等效半径只与差分网格的尺寸有关，即
req??xexp(?)2?0.208?x （4.2.48）
由于井孔半径rw一般远小于模型的网格尺寸?x，模型计算水头往往远远低估了抽水井本身的降深，在绘制井孔周围等值线图时显示出过小的水力梯度。有了校正式（4.2.47）之后，
就可以先用常规优先差分模型计算井点单元的水头，然后直接校正得到井孔的水头。在校正时，rw是必须提供的参数。
图4.7 正方形差分网格及抽水井附近水头分布图
然而，上述校正公式是在正方形网格、无面源补给的情况下调用稳定井流解析解推导出来的，是否能够适应矩形网格、不规则网格以及有面源补给（越流等）的情况呢？定降深井孔是否也能直接用式（4.2.47）进行校正呢？在此，我们对承压含水层建立一种更加普遍的校正方法来解决这个问题。
为了得到具有实用性的解析解，对井孔附近采取以下的简化假设： 1) 井孔附近的地下水在水平方向上是径向流动；
2) 井孔附近的含水层为均质各向同性，导水系数为T、储水系数为S； 3) 井孔的滤管穿透了所研究的含水层（模拟层）。
在上述假设的基础上，井孔附近的地下水流可以用下述方程为
1?H?2H?HT(?2)???S （4.2.49） r?r?r?t式中：?是一个由外部因素决定的面源补给项。引入一个?因子改写上述方程，即
1?H?2HT(?2)???0 （4.2.50） r?r?r????S?H （4.2.51） ?t这个?因子综合考虑了面源补给与含水层储存量的变化，并且我们再引入一个简化假设：?因子在井孔附近与径向距离r无关。这个假设并不符合实际，目的是在当前条件下获得一个实用的近似解。
给定流量为Qw，水头为Hw的井孔边界条件
H(r?rw)?Hw，2?rwT可以求出方程（4.2.50）满足?因子假设的解析解为
?H?r?Qw （4.2.52）
r?rw2Qw???rwr?22H(r)?Hw?ln?(r?rw)，r?rw （4.2.53）
2?Trw4T由于井孔半径rw一般远小于研究尺度下的径向距离r，上式可简化为
H(r)?Hw?Qwr?2ln?r，r?rw （4.2.54） 2?Trw4T对于矩形网格（图4.8），常规差分模型采用下式建立井点0所在矩形单元的差分方程为
kkkkkkH1k?H0H2?H0H3k?H0H4?H0T(?x??y??x??y)?Qw???x?y （4.2.55）
L1L2L3L4其中：?因子为
kH0?H0k?1????S （4.2.56）
?tn0
图4.8 矩形差分网格中的井点单元
然而，当井孔附近的径向流扩展到相邻节点1～4时，这些相邻节点上的水头还可以通过式（4.2.54）获取
kHik?Hw?QwL?2lni?Li，i?1,2,3,4 （4.2.57） 2?Trw4T式中：Li为节点i与节点0的距离（图4.8）。
把式（4.2.57）带入式（4.2.55）得
kA(Hw?H0k)?Q???x?yB?Qw?E?w （4.2.58） TTT4?Li??i2?ln，E?(Li) （4.2.59） ???i?rw?i?1?i?144其中：
1A???i，B?2?i?14