1.10 已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
??(t)?4y?(t)?3y(t)?u??(t)?6u?(t)?8u(t) y试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；
（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。
答: （1）由微分方程可得:
s2?6s?82s?5G(s)?2?1?2
s?4s?3s?4s?3记
G1(s)?c1c22s?52s?5???，
s2?4s?3(s?1)(s?3)s?1s?3其中，
2s?532s?51?，c2?lim?。
s??1s?3s??3s?122从输入通道直接到输出通道上的放大系数d?1，由此可得:
?1???10??x1??1??x?????u ?x??????2??0?3??x2??1?c1?lim?31??x1?y????x??u 22???2??1???10??31?（2） 由于A??，，，D?1，因此 C?B???????22??0?3??1?G(s)?C(sI?A)?1B?D??1?3(s?1)(s?2)??21.50.5??1s?1s?31??s?30??1???1??1 s?1?2???0??? 1.11 已知系统的传递函数为
G(s)?2s?5
(s?3)(s?5)（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G(s)重新写成下述形式：
G(s)?每一个环节的状态空间模型分别为：
12s?5? s?3s?5?2??5x2?u1?x??y??5x2?2u1
?1??3x1?u?x 和 ?y?x1?1又因为y1?u1， 所以
?1??3x1?u?x ???x2?x1?5x2y?2x1?5x2
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因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：
?1???30??x1??1??x?x???1?5??x???0?u ???2????2???x?y??2?5??1?
?x2?对应的状态变量图为：
2u?1x??3x1?2x?? x25?y5
（2）将G(s)重新写成下述形式：
G(S)?每一个环节的状态空间模型分别为：
?0.52.5? s?3s?5?1??3x1?0.5u?x ?y?x?11?2??5x2?2.5u?x ??y2?x2又由于
?1??3x1?0.5u?x ???x2??5x2?2.5uy?y1?y2?x1?x2
因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：
?1???30??x1???0.5??x?x???0?5??x???2.5?u ???2????2???x?y??11??1?
?x2?对应的状态变量图为：
2.50.5??1x??3x1yu?2x??5x2
7
??Ax?Bu,y?Cx，写出该系统的特征多项式和传递1.12 已知系统的状态空间模型为x函数矩阵。
答: 系统的特征多项式为det(sI?A)， 传递函数为G(s)?C(sI?A)?1B。
1.13 一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟
一？
答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。
??Ax?Bu,y?Cx，写出其对偶状态空间模型。 1.14 已知系统的状态空间模型为x答: 其对偶状态空间模型为:
??AT~?~xx?CTu ?T~?y?Bx1.15 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？
??Ax?Bu?x答: 对于互为对偶的 ? 与
y?Cx???AT~?~xx?CTu，它们对应的特征多项式分别为?T~y?Bx?det(sI?A)和det(sI?AT)。由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两
个状态空间模型具有相同的特征多项式。 它们对应的传递函数分别为
C(sI?A)?BG1(s)?C(sI?A)B?
det(sI?A)?1BT(sI?AT)?CTG2(s)?B(sI?A)C?
det(sI?AT)TT?1TT由于det(sI?A)?det(sI?A)，C(sI?A)B???T?BT(sI?AT)?CT，故对偶状态空间模
型之间的传递函数关系为G1(s)?G2(s)T，即互为转置。 1.16 考虑由以下状态空间模型描述的系统:
1??0?0??x???x??1?u
?6?5????y?[11]x试求其传递函数。 答: 由于
G(s)?C(sI?A)?1B?D?C(sI?A)?1B
?s?51?1?1 (sI?A)???s(s?5)?6??6s?故
8
G(s)?s?51??0?11s?1 ?11???(s?1)?????22s(s?5)?6s?5s?6??6s??1?s?5s?61.17 给定系统的状态空间模型:
?0???0x????1?1y???0求系统的传递函数矩阵。
10??00??10?u?43?x??????1?2???01??
00?u01?? 答: 系统的传递函数为G(s)?C(sI?A)?1B。由于
(sI?A)?1因此，
0??s?1???0s?4?3???1s?2??1??1?s2?6s?11s?23?1??2?3?3s?2s3s ??2s?6s?11s?3?2?s?4?s?1s?4s???G(s)?C(sI?A)?1B
?s2?6s?11s?23??00?100???1???2?3?3s?2s3s10????? s?6s2?11s?3?001??2??s?4?s?1s?4s??01?????3??s?21?3?? 2s?6s2?11s?3??s?1s?4s?1.18 试用MATLAB软件求出下列传递函数的状态空间实现:
10s2?47s?160G(s)?3 2s?14s?56s?160 答: 执行以下的m-文件：
num=[0 10 47 160]; den=[1 14 56 160]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
得到：
??14?56?160??1??， B??0?， C??1047160?， D?0
A??100??????10??0??0??由此可知：
?1???14?56?160??x1??1??x?x??x???0?u ?2???100?????2?????3?10??x???0???x3????0?? 9
?x1??
y??1047160??x2????x3??1.19 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:
?1??010??x1??0??x??????x???1?ux??1?102?????2?????x?3????100????x3???x1?y?[100]??x?2???x3?? 答: 执行以下m-文件：
A=[0 1 0;-1 -1 0;1 0 0];
B=[0;1;0];
C=[1 0 0]; D=0;
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)
可得：
num = 0 0 1.0000 0 den = 1.0000 1.0000 1.0000 0
因此，系统的传递函数为
G(s)?ss3?s2?s1.20 试用MATLAB软件求以下系统的传递函数:
???x1??210??x1??0?x?????2?020x???1??x??????2??3???013????x3????0?x1?y?[001]??x?2???x3??答: 执行以下的m-文件：
A=[2 1 0;0 2 0;0 1 3]; B=[0 1;1 0;0 1]; C=[0 0 1]; D=[0 0];
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,2) 可得要求的两个传递函数是
10
??0??
1?0???u1?1????u?2?