Y(s)s?2 ?3U1(s)s?7s2?16s?12Y(s)s2?4s?4 ?32U2(s)s?7s?16s?12??Ax?Bu,y?Cx，1.21 已知系统的状态空间模型为x取线性变换阵为P，且x?Px，
写出线性变换后的状态空间模型。
??Ax?Bu,y?Cx，得 答: 把x?Px代入x??APx?BuPxy?CPx因此，线性变换后的等价状态空间模型为：
??P?1APx?P?1Buxy?CPx
1.22 线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。 答: 假设系统的状态空间模型为
??Ax?Buxy?Cx?Du经过线性变换x?Tx后，系统的状态模型变为：
??Ax?Buxy?Cx?Du其中，
A?TAT?1，B?TB，C?CT?1，D?D
由于
det(sI?A)?det(sI?TAT?1)?det(sTT?1?TAT?1)?det(T)det(sI?A)det(T?1)?det(sI?A)故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。 1.23 已知以下微分方程描述了系统的动态特性:
????2y?u y?3y?，写出系统的状态方程； （1） 选择状态变量x1?y,x2?y（2） 根据（1）的结果，由以下的状态变换:
x1?x1?x2x2??x1?2x2?可得 答: (1) 由x1?y,x2?y
确定新的状态变量x1,x2，试写出关于新状态变量x1,x2的状态空间模型。
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?1?x2?x??2??3x2?2x1?u ?x?y?x1?写成矩阵向量形式，可得
?1??0??x1??x1??0?????u??????????x2???2?3??x2??1? ?x?y??10??1??x???2?? (2) 由于x1?x1?x2,x2??x1?2x2，即
?x1??11??x1??x????1?2??x?
??2??2??容易验证这是一个等价线性变换，故可得
?1???10??x1??1???x????????x????1?u0?2x??2????2??? ??y??11??x1??x???2??1.24 给定系统
1??0?0??x???x??d?u?a?b???? y??100?x试确定参数a,b和d的值，以使得该系统模型能等价地转换成以下的对角型
??30??1????zz???1?u0?1???? y???55?z答: 由对角型状态空间模型可知
G(s)??551010???2 s?3s?1(s?3)(s?1)s?4s?3G(s)?10d
s2?bs?a而从原状态空间模型则可得传递函数
由于等价的状态空间模型具有相同的传递函数，故经比较系数可得：
a?3b?4 d?11.25 已知系统的传递函数为
s2?s?2G(s)?3
s?2s2?2s
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试用部分分式法求其状态空间实现。（由于存在复数极点，可导出模态标准型实现） 答: 用部分分式法分解传递函数
s2?s?2s2?s?2s2?s?2 G(s)?3??22s?2s?2ss(s?2s?2)s(s?1?j)(s?1?j)所以p1?0,p2??1?j,p3??1?j
根据公式ci?limG(s)(s?pi)可得
x?pic1?1，c2?所以传递函数的一个状态空间实现为
1?1，c3? 2j2j??x1??1???x???1?u??2???j????x3????1???1??000?x?x?2???0?1?j0?????3?0?1??x???0?x1??11???y??1???x2?2j2j????x3??A=[0 0 0;0 -1-i 0;0 0 -1+i]; B=[1;1;1];
C=[1 -0.5*i 0.5*i]; D=0;
使用MATLAB函数canon(A,B,C,D)可导出模态标准型。执行以下的m-文件：
[Ab,Bb,Cb,Db,P]=canon(A,B,C,D,'companion') 可得
?0?(t)??1x???0y(t)??100??1??0?u(t)0?2?x(t)???? ??1?2?0????12? 13