2013年春季
定积分与微积分的基本定理
1、定积分概念
定积分定义：如果函数
f(x)在区间[a,b]上连续，用分点
a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b，将区间[a,b]等分成几个小区间，在每一个小区间[xi?1,xi]上任取一点
?i(i?1,2,?,n)，作和
f(?i)?xi??b?af(?i)ni?1，当n??时，上述和无限接近某个常数，
n[x,x],]这个常数叫做函数f(x)在区间[ab上的定积分，记作i?1i?baf(x)dx，即
?baf(xdx)?b?alimf?i()?n??ni?1，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[a,b]叫做积分区间，函
n数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.
2、定积分性质 （1）（2）（3）
???babacakf(x)dx?k?f(x)dxab；
b[f1(x)?f2(x)]dx??bf(x)dx?a1?af2(x)dxbf(x)dx??bcf(x)dx??af(x)dx(a?c?b)3、微积分基本定理
'f(x)[a,b]f(x)[a,b]F一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且(x)?f(x)，
b?af(x)dx?F(b)?F(a)则
bbbf(x)dx?F(x)|F(x)|aa?F(b)?F(a)F(b)?F(a)?a，即常常把，记作.
，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，
4．、常见求定积分的公式
?（1）
（3）?baxndx?1n?1bx|a(n??1)n?1
（2）
?bacdx?cx|ba（C为常数）
basinxdx??cosx|ba（4）?bacosxdx?sinx|baexdx?ex|ba?（5）
（7）
ba1dx?lnx|ba(b?a?0)x
（6）
?ba
?baaxbadx?|a(a?0且a?1)lna
x★ 重 难 点 突 破 ★
1.重点：定积分的计算和简单应用。 2.难点：利用定积分求平面区域围成的面积
1
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3.重难点：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.
（1）掌握定积分在求曲边梯形面积的方法.
2问题. 求由抛物线y?8x(y?0)与直线x?y?6及y?0所围成图形的面积.
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★
考点1: 定积分的计算 题型1.计算常见函数的定积分
例1. 求下列定积分
（1）
?30xdx3 （2）
??0sinxdx （3）
?201dxx
题型2:换元法求定积分
?例2.计算:
?20sin2xdx2
题型3:计算分段函数定积分
2
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例3. 求
?e1eln3x||dxx
题型4:定积分的逆运算
例4. 已知
【新题导练】.
1．(广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试)计算：
2x12f(x)???a(12t?4a)dt,F(a)??0[f(x)?3a]dx求函数F(a)的最小值.
??2(sinx?2)dx?
?x2(0?x?1)f(x)??2f(x)dx2?x(1?x?2)0?2. .设 则?=（ ）
3A.4
考点2: 定积分的应用
3
4B.5
5C.6
D.不存在
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题型1.求平面区域的面积
例1 求在[0,2?]上，由x轴及正弦曲线y?sinx围成的图形的面积.
★ 抢 分 频 道 ★
基础巩固训练
61. （2007年广东北江中学高三第二次月考）?0(x2?1)dx=
e2. (2008学年广东北江中学高三高三年级第一次统测试题) ?1(2x?ex)dx
223. ??1x?xdx=
f(x)???2x?1,x?[?2,2]31?x24. 已知?,x?(2,4],当k= 时,
?kf(x)dx?403.恒成立
5. 求曲线y?x2，
y?x及y?2x所围成的平面图形的面积.
4
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