第二章参数方程
(时间：90分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
??x?4?3t,1．直线?(t为参数)上与点P(4,5)的距离等于2的点的坐标是( )．
??y?5?3tA．(－4,5) B．(3,6)
C．(3,6)或(5,4) D．(－4,5)或(0,1) 2．设r＞0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆?是( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
?x?rcos?,(φ是参数)的位置关系
?y?rsin??2x??1?t,??23．已知直线l的参数方程为?(t为参数)，则直线l的斜率为( )． ?y?2?2t??222A．1 B．－1 C． D．?
22?x?1?2t,22
4．直线?(t为参数)被圆x＋y＝9截得的弦长为( )．
?y?2?t12125A． B．
55995 D．10 C．55?8t?x?,??4?t25．当t∈R时，参数方程?(t为参数)表示的图形是( )． 24?t?y??4?t2?A．双曲线
B．椭圆(除去下顶点) C．抛物线 D．圆
?x?tan?,?6．双曲线?2的渐近线方程为( )．
y??cos??1A．y＝±x B．y=?x
2C．y＝±2x D．y＝±3x
7．半径为2的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )． A．π B．2π C．12π D．14π
1
8．已知圆的渐开线??x?3?cos???sin??(φ为参数)，则渐开线对应的基圆的面积为
?y?3?sin???cos??π)＝0(θ为参数)．那么圆心的轨4( )．
A．π B．3π C．4π D．9π
9．已知动圆方程x＋y－xsin 2θ＋42ysin(??2
2
迹是( )．
A．椭圆
B．椭圆的一部分 C．抛物线
D．抛物线的一部分
?x?2?sin2?,10．参数方程?(θ为参数)化成普通方程是( )．
?y??1?cos2?A．2x－y＋4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．2x－y＋4＝0，x∈[2,3] D．2x＋y－4＝0，x∈[2,3]
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．设直线l1的参数方程为?与l2间的距离为________．
?x?1?t,(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1
?y?1?3t?x?cos??1?12．已知椭圆C：?(θ为参数)经过点?m,?，则m＝__________，离心率
?2??y?2sin?e＝__________.
13．在平面直角坐标系中，已知圆C：??x?5cos??1,(θ为参数)和直线l：
?y?5sin??2?x?4t?6,(t为参数)，则圆C的普通方程为__________，直线l与圆C位置关系为?y??3t?2?__________．
?x?5cos?,(θ是参数)的长轴长为________．
?y?3sin??x?cos?,15．已知圆C的参数方程为?(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为
y?1?sin??14．椭圆?极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐
标为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1?x??t??sin?,?t?16．(10分)已知参数方程?(t≠0)．
1???y??t??cos???t??(1)若t为常数，θ为参数，方程所表示曲线是什么？
(2)若θ为常数，t为参数，方程所表示曲线是什么？ 17．(15分)(2010·课标全国卷，理23)已知直线C1：?
?x?1?tcos?,(t为参数)，圆
?y?tsin?2
C2：??x?cos?,(θ为参数)．
?y?sin?π(1)当??时，求C1与C2的交点坐标；
3(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
3
参考答案
1．答案：C 由题意，可得??3???3?|t|=2?t=?得?
223，将t代入原方程，3?x?3,?x?5,或?所以所求点的坐标为(3,6)或(5,4)． y?6y?4,??2．答案：B 易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0,0)到直线的距离为d＝
|0?0?r|cos??sin?22＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．
3?x??1?tcosπ,??43．答案：B 直线l可化为?
3?y?2?tsinπ,??43∴斜率k＝tanπ＝－1.
42?x?1?5t?,??x?1?2t5?4．答案：B 由? ??1y?2?t??y?2?5t?,?5?把直线方程代入x＋y＝9得(1＋2t)＋(2＋t)＝9，
2
即5t＋8t－4＝0，∴|t1－t2|＝?t1?t2??4t1t2
2
2
2
2
2?8?1612=????=.
55?5?125. ∴弦长为5|t1?t2|=5?8t?x? ①??4?t25．答案：B 原方程可化为?
8?y?1? ②2?4?t?x①除以②，得＝－t.③
y?12x22
将③代入②得＋y＝1(y≠－1)，表示的图形是椭圆(除去下顶点)．
4y22
6．答案：C 将参数方程化为普通方程为－x＝1.
4故渐近线方程为y＝±2x.
7．答案：C 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为??x?2??2sin?,(φ为参数)，
?y?2?2cos?把y＝0代入可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．而x＝2φ－2sin φ＝4kπ.根据选项可知选C.
8．答案：D
4
9．答案：D 圆心坐标为?π??sin2?,?22sin?????，设圆心为(x，y)．
4??2sin2??x?,?y22?2
则?(θ为参数)．化为普通方程为＝1＋2x，即y＝8x＋4.
π?4?y??22sin??????4???sin2??11?又∵x=???,?
2?22?112
∴y＝8x＋4(??x?)，表示抛物线的一部分．
225cos2?2
10．答案：D ∵x＝2＋sinθ＝?，cos 2 θ＝y＋1，
225y?1∴x=?，
22即2x＋y－4＝0.又∵0≤sinθ≤1，∴x∈[2,3]．故选D. 11．答案：2
310 将直线l1的参数方程化成普通方程为y＝3x－2，又l2：y＝3x＋4，5故l1∥l2，在l1上取一点(0，－2)，其到l2：3x－y＋4＝0的距离就是l1与l2的距离，
|0?2?4|310. =510y21532
12．答案：? 椭圆的参数方程化为普通方程为x＋＝1.
442115?1?2
把?m,?代入，得m＋4＝1，得m=?.
424??即d=又∵a＝2，b＝1，c=22?12=3， ∴e=c3. =a22
2
2
13．答案：(x＋1)＋(y－2)＝25 相交 圆C的参数方程化为普通方程为(x＋1)＋(y2
－2)＝25.
l的普通方程为：3x＋4y－10＝0.
5?1?5.故圆和直线相交．
55x2y2?=1，它是焦点在x轴上的14．答案：10 原方程消去参数θ，得普通方程为
259圆心到直线的距离d?3???1??4?2?10?椭圆，故长轴长为10.
22
15．答案：(－1,1)，(1,1) ρsin θ＝1?y＝1，圆方程为x＋(y－1)＝1，联立，得到所求交点为(－1,1)，(1,1)．
16．答案：分析：(1)以θ为参数，进行转化，注意符号． (2)以t为参数，进行讨论．
x2y2??1. 解：(1)当t≠±1时，
1212?t???t??tt
5
表示中心在原点，长轴长为2|t+|，短轴长为2|t?|，焦点在x轴上的椭圆． 当t＝±1时，y＝0，x＝±2sin θ∈[－2,2]，它表示x轴上[－2,2]上的线段．
1t1tkπx2y2?=1是双曲线． (2)当??(k∈Z)时，2224sin?4cos?当θ＝kπ(k∈Z)时，x＝0，表示y轴． 当θ＝kπ＋
π?1?(k∈Z)时，y＝0，∴x=??t??，表示x轴上以(－2,0)和(2,0)为端2?t?π时，C1的普通方程为y＝3(x－1)．C2的普通方程为x2＋3点的向左和向右的两条射线．
17．答案：解：(1)当??y2＝1.
?1?3??y?3?x?1?,联立方程组?2解得C1与C2的交点为(1,0)，?,?. ?2??22??x?y?1,??(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
过原点O作C1的垂线，则垂线的方程为xcos α＋ysin α＝0. 由??xsin??ycos??sin?=0，
?xcos??ysin?=0?x=sin2?，得? ?y=?sin?cos?.故点A的坐标为(sinα，－sin αcos α)，点P的坐标为?故当α变化时，点P的轨迹的参数方程为
2
1?12? sin?，?sin?cos??，
22???12x=sin?,??2(α为参数)． ?1?y=?sin?cos???212
由x＝sinα，
211?cos2?11=?cos 2?. 得x＝?2244111∴cos 2α＝－x.由y＝?sin?cos?， 44211?1?得y＝?sin 2α.∴??x?+y2=.
416?4?1221即点P的轨迹的普通方程为(x?)+y=.
4161?1?故点P的轨迹是圆心为?,0?，半径为的圆．
4?4?2 6