人教新课标版初中八上第11章全等三角形拔高题精选
一、学科内综合题(每小题8分，共32分)
1．已知一个三角形的两边分别是10和7，则第三边上的中线的取值范围是多少？
2．如图11-全-1所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．
3．如图11-全-2所示，点C是线段AB上任意点（C点与A、B点不重合），分别以AC、
BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．
（1）求证：△ACE≌△DCB； （2）求证：MN∥AB．
4．如图11-全-3所示，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于F，FD⊥AB于D，FE⊥AC
于E．求证：AF垂直平分DE．
二、学科间综合题（6分）
5．如图11-全-4所示是某房间木地板的一个图案，其中AB=BC=CD=DA，AE=CE=CF=FA；
图案由深色的全等三角形木块（阴影部分）和浅色的全等三角形土块（无阴影部分）拼成，这个图案的面积是0.05m2,若房间的面积是13 m2，问最少需要深色木块和浅色木块各多少块？
三、应用题（每小题6分，共12分）
6．传说在19世纪初，一位将军率领部队在一河边与敌军激战，为使炮弹准确落到河对岸的
敌军陈地，将军站在河岸边，将帽子压低，使视线沿着帽檐恰好落到河对岸的边线上，然后他一步步向后退，一直退到视线落到河岸边自己原来站的位置为止，如图11-全-5
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所示．这时，他后退的距离便是河的宽度，请想一想，这是为什么？
7．如图11-全-6所示，要在两条公路的中间建一座加油站，位置选在距两条公路的距离相
等，并且到两条公路的交叉点A处的距离为2 cm(指图上距离)，图中加油站的位置是在什么地方？请说明理由．
四、创新题（每小题7分，共49分）
8．如图11-全-7所示，已知AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=BD．求证：
AC=2AE．
9．如图11-全-8①所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，
BF⊥AC，若AB=CD．
求证：BD平分EF，若将△DEC的边EC沿AC方向平移为图②，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．
10．如图11-全-9所示，在△ABC中，BE、CF分别为两条边上的高，在BE上截取BD=AC，
在CF（或其延长线）上截取CG=AB，连接AD，AG，试判断AG与AD的大小关系
及位置关系，并证明你的结论．
11．如图11-全-10所示，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，直线EF交AC于F，交AB于
E，交BC的延长线于D，连接AD，BF，CF=CD．求证：BF=AD，BF⊥AD．
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12．已知如图11-全-11所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A作直线ED，使ED⊥BE于E，CD⊥ED于D． 求证：ED=BE+CD．
13．已知如图11-全-12所示，在等腰Rt△ABC中，∠ABC的平分线交AC于D，从C向
BD的延长线作垂线，垂足为E．求证：BD=2CE．
14．已知如图11-全-13所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别是AB，AC
边上的点，且∠AED+∠AFD=180°．求证DE=DF．
五、中考题（每小题7分，共21分）
15．（2005·南充）如图11-全-14所示，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE
⊥BC，AF⊥CD，图中有无和△ABE全等的三角形？请说明理由．
16．（2006·北京）已知，如图11-全-15所示，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
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17．（2007·山西）如图11-全-16，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交
于点F，连接DF．
（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
（3）延长DF交于BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）
六、附加题（20分）
18．如图11-全-17所示，已知AB=DC，AE=DF，CE=FB．
求证：AF=DE．
参考答案
一、1．分析：利用平移的手段，构建一个三角形，使中线与已知两边位于同一三角形中，
如图11-全-1′所示，再利用三边关系确定其范围．
解：在△ABC中，AB=7，AC=10，AD为BC边上中线，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，则在△ABD和△ECD中，
?AD?DE,? ?BD?DC,??ADB??EDC,?
∴△ABD≌△ECD， ∴AB=EC=7．
在△ACE中，由三边关系可得10-7＜AE＜10+7，即3＜2AD＜17, 所以1.5＜AD＜8.5．
点拨：此题是三角形全等和三边关系相结合的综合题，题中引的辅助线是常见的将中线与边联系起来的作法．
2．分析：方法一：如图11-全-2′所示，延长BC到F，使CF=BD，连接AF，要证AE=BE+BC，即证AE=BF，显然△BDE为等边三角形，所以若AE=BF成立，则△ADF为等边三角形，故此方法的关键是证明△ADF为等边三角形，可通过△ABD≌△ACF来证明AD=AF，从而证明△ADF为等边三角形．
方法二：如图11-全-3′所示，在AE上截取AM=BE，即要证明AE=BE+BC，转化为证明EM=BC，同方法一一样，需证明△MDC为等边三角形，则需证明MD=MC，而AE=MD，所以转化为证明AE=MC，故关键是如何证明△ABE≌△CAM，它的条件是已知AB=AC，AM=BE，还缺∠1=∠MAC（易证）．
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证明：方法一：如图11-全-2′所示，延长BC到F，使CF=BD，连接AF， ∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACF，而AB=AC，BD=CF， ∴△ABD≌△ACF，∴AD=AF． 又∵BD=BE，∠ADB=60°， ∴△BDE为等边三角形． ∴△ADF也是等边三角形． ∴DA=DF，∴AE=BF． ∴AE=BC+BE．
方法二：如图11-全-3′所示， 在AE上截取AM=BE，连结CM， ∵BD=BE，∠D=60°， ∴△BDE为等边三角形．
∴∠ABD=60°+∠1，∠ACF=60°+∠MAC．
又∵AB=AC，∴∠ABD=∠ACF，∴∠1=∠MAC． 而AB=AC，AM=BE，∴△ABE≌△CAM，∴AE=CM． ∵AE=AM+ME，AM=BE=DE， ∴MD=MC，
∴△DMC为等边三角形． ∴DM=DC，∴EM=BC． ∴AE=BE+BC．
点拨：证明一条线段等于另两条线段时的常用办法是：割补法．如方法一中，在较短的线段BC的延长线上截取（补）CF=BE，如方法二中在较长的线的AE上截取（割）AM=BE，从而问题转化为证明两条线段相等的问题． 3．分析：（1）要证△ACE≌△DCB，只需证明∠ACE=∠DCB即可，已知AC=DC，CE=BC． (2)要证MN∥AB，只需证明∠CNM=∠NCB=60°即可，则需证明△CMN为等边三角形，可通过△CME≌△CNB来实现 证明：（1）在△ACE和△DCB中，
?AC?CD,???ACE??DCB?120? ?CE?CB,?∴△ACE≌△DCB（SAS）． （2）如图11-全-4′所示，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）． 又∵CE=CB，∠3=∠4=60°， ∴△CME≌△CNB． ∴CM=CN．
∴△CMN为等边三角形． ∴∠MNC=∠3=60°． ∴MN∥AB．
点拨：利用等边三角形边角的特殊性证明是关键．
4．分析：由角平分线和FD⊥AB，FE⊥AC可证得△ADF≌△AEF，再由等腰三角形的性质可证AF垂直平分DE． 证明：在△ADF和△AEF中，
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