??DAF??EA,F? ??ADF??AEF?90 ,??AF?A,F? ∴△ADF≌AEF(AAS)．
∴AD=AE(全等三角形对应边相等)．
∴AF垂直平分DE（等腰三角形三线合一）． 点拨：选择恰当的全等关系，使证明简单明了．
二、5．分析：房间面积除以每个图案面积可求出所需的木块数．
解：13÷0.05=260，而每个图案正由4个深色、2个浅色的三角形构成，故深色木块为
260×4=1040(块)；浅色木块为260×2=520(块)． 点拨：观察图案特征寻找解题规律．
三、6．分析：要说明BB′=BC，只需证它们所在的三角形全等即可．
证明：由题意知AB=A′B′，AB⊥BC，A′B′⊥B′C′，AC∥A′C′， ∴∠ABC=∠A′B′C′=90°， ∠C=∠B， 故△ABC≌△A′B′C′（AAS）．
BC= B′C′(全等三角形的对应边相等)． 即BB′=BC．
故他后退的距离便是河的长度． 的平分线上．
解：如图11-全-5′所示，AP平分∠BAC，P为加油站所处位
置，且PA2 cm，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，P到BA、AC的距离相等． 点拨：此题是角平分线性质在实际生活中的一个应用．
四、8．分析：可证AC=2AE，可尝试把AE延长一倍后，如图
11-全-6′所示，证明AF=AC可先证△AEB≌△FED，再证△ACD≌△AFD． 证明：延长AE到F，使EF=AE，连接DF，在△AEB和△FED中，
?AE?EF,???AEB??FED, ?EB?DE,?7．分析：加油站的位置到角两边的距离相等，可知它必在∠BAC
∴△AEB≌△FED， ∴DF=AB，∠EDF=∠B． ∵AD是△ABC的中线， AB=BD，
∴CD=BD=AB=DF．
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∠BAD=∠BDA，∠B=∠BDF， ∴∠ADC=∠BDA+∠BDF=∠ADF． 在△ACD和△AFD中，
?CD?DF,???ADC??ADF, ?AD?AD,?∴△ACD≌△AFD．
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∴AC=AF．
又∵AF=2AE，∴AC=2AE．
点拨：证明一条线段是另一条线段的两倍（或一半）时，常用的方法：找出或作出等于较短线段的两倍的线段，证它与较长线段相等（称为加倍法）；找出或作出等于较长线段的一半的线段，证它与较短线段相等（称为折半法）．本题采用的是加倍法． 9．分析：由题意可证Rt△ABF≌Rt△CDE，再证△BFG≌△DEG，移动后上述结论仍成立，
道理相同．
证明：∵AE=CF，
∴AF=EC，又∵∠AFB=∠CED=90°． 在Rt△ABF和Rt△CDE中，
?AB?CD, ??AF?CE,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)．
∴BF=DE(全等三角形对应边相等)． 在△BFG和△DEG中，
?BF?DE,???BFG??DEG?90?, ??BGF??DGE.?∴△BFG≌△DEG（AAS）． ∴EG=GF，
即BD平分EF，
若将△AEC沿AC方向平移后，上述结论仍成立， ∵AE=FC， ∴AF=EC．
∴∠AFB=∠CED=90°． 在Rt△ABF和Rt△CDE中，
?AB?CD, ?AF?EC,?∴Rt△ABF≌CDE(LH)．
∴BF=ED(全等三角形对应边相等)． 在△BFG和△DEG中，
?BF?DE,???BFG??DEG?90?, ??BGF??DGE,?∴△BFG≌△DEG（AAS）．
∴EG=GF（全等三角形对应边相等）， 即BD平分EF．
点拨：对应图形特点，寻找规律、培养能力．
10．分析：要判断AG与AD的大小及位置关系，即探讨AG与AD是否相等以及是否垂直，
而AG与AD可分别看作是△AGC、△DAB的边，则可探讨这两三角形是否全等，看条件：BD=AC，GC=AB，若能证明∠ABD=∠ACG，则这两个三角形全等，进而可推
出AD与AG的位置关系．
证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∠BOF=COE，
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∴∠ABD=∠ACG．
又∵BD=AC，CG=AB， ∴△DAG≌△AGC．
∴AG=AD，∠BAD=∠G．
∵CG⊥AB，∴∠G+∠GAF=90°． ∴∠BAD+∠GAF=90°， 即AG⊥AD．
∴AG与AD的大小关系是AG=AD． 位置关系是AG⊥AD．
点拨：要判断两条线段大小关系一般是探讨它们是否相等，要判断线段位置关系一般探
讨它们是否平行、垂直、平分等．
11．分析：由题意可证得△BCF≌△ACD，从而得到BF=AD，BF⊥AD．
证明：在△BCF和△ACD中，
?AC?BC,???ACD??BCF?90?, ?CD?CF,?∴△ACD≌△BCF(SAS)． ∴BF=AD，
∠FBC=∠DAC（全等三角形对应边、对应角相等）． 延长BF交AD于G点， ∵∠DAC+∠ADC=90°， ∴∠FBC+∠ADC=90°． ∴BF⊥AD．
点拨：选择证△BFC和△ACD全等是解题的关键．
12．分析：由题意可证△ABE≌△CAD，得到AE=CD，AD=BE，从而问题可证．
证明：∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠DAC=180°-90°=90°． 又∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠EBA=∠DAC． 在△ABE和△CAD中，
??EBA??DAC,???E??D?90?, ?BA?AC.?∴△ABE≌△CAD（AAS）．
∴AE=CD，AD=EB（全等三角形对应边相等）． ∴AE+AD=CD+EB， 即ED=BE+CD．
点拨：此题中证∠EBA=∠DAC是用同角的余角相等证明的，这种证明角相等的方法较常见．
13．分析：由已知条件无法直接得到BD=2CE，可尝试引辅助线，延长CE，BA相交于F，
如图11-全-7′所示，可先证△BEF≌△BEC得到∠ABE=∠ACF，再证△ABD≌△ACF可得到BD=2CE．
证明：延长CE交BA的延长线于F．
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在△BEF和△BEC中，
??FBE??CBE,? ?BE?BE,??FEB??CEB,?∴△BEF≌△BEC（ASA）．
∴∠ABD=∠ACF，EC=EF（全等三角形对应边、对应角相等）． 在△ABD和△ACF中，
??ABD??ACF,? ?BA?AC,??BAC??CAF?90?,?∴△ABD≌△ACF(ASA)． ∴BD=FC，又∵EC=FE， ∴BD=2CE．
点拨：引辅助线不要盲目，要能构造全等关系．
14．分析：由已知得不到所要结论，故可尝试引辅助线，因为AD是角平分线，可过D作
AB，AC的垂线，如图11-全-8′所示，证△DEG≌△DFH即可．
证明：过D作DG⊥AB于G，DH⊥AG于H． ∵AD平分∠BAC，
∴DG=DH．
∵∠AFD=∠DFH=180°，∠AED+∠AFD=180°， ∴∠AED=∠DFH． 在△GED和△HFD中，
??GED??DFH,???EGD??FHD?90?, ?GD?DH,?∴△GED≌△HFD（AAS）．
∴DE=DF（全等三角形对应边相等）． 点拨：正确引辅助线是解题的关键．
五、15．分析：由角平分线性质知AE=AF，所以△ABE≌△ADF．
解：∵△ADF和△ABE全等．
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE=AF． 又∵AB=AD，
∴Rt△ABE≌△Rt△ADF．
点拨：应用角平分线性质和“HL”．
16．分析：本题主要考查三角形全等的判定．现在知道AB=DE，AF=DC． 解：由题意要证BC=EF，并且BC、EF分别在两个三角形中，只有证△ABC≌△DEF
才可得．要证三角形全等，现在只知道AB=DE，还需要∠A=∠D，AC=DF才可．
证明：因为AB∥DE，所以∠A=∠D． 又∵AF=DC，∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF．
?AB?DE,?在△ABC与△DEF中??A??D,∴△ABC≌△DEF．
?AC?DF.?9
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∴BC=EF．
点拨：先找出全等的两个三角形，再证明，利用AB∥ED，AF=DC，CD=CE，不难发现全等．
17．分析：(1)由正方形的性质便可得出三对全等三角形．
(2)需证两对三角形全等．△ADF≌△ABF，△ADE≌△BCE．(3)观察猜想即可．
(1)解：△ADC≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF． (2)AE⊥DF．
证法1：设AE与DF相交于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠DAF=∠BAF．
又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF，
∴∠1=∠2，又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°， DE=CF，
∴△ADE≌△BCE，∴∠3=∠4， ∵∠2+∠4=90°，∴∠1=∠3=90°． ∴∠AHD=90°，∴AE⊥DE．
证法2：如图11-全-9′，设AE和DF相交于点H． ∵四边形ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCF=BCF． 又∵CF=CF，∴△DCF≌△BCF，∴∠4=∠5． 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CF， ∴△ADE≌△BCE，∴∠6=∠7，∵∠4+∠6=90°， ∴∠5+∠7=90°，∴∠EHD=90．∴AE⊥DE． 证法3：同“证法1”得△ADE≌△BCE． ∴EA=EB．∴∠EAB=∠2．∴∠EAB=∠1． ∵∠EAB+∠3=90°，∴∠1+∠3=90°． ∴∠AHD=90°．∴AE⊥DF． （3）解：BM=MC．
点拨：此题综合考查了图形的主要知识，培养学生综合运用知识能力．
六、18．分析：假设AF=DE，应用△AEF≌△DFE，这只要有∠AEF=∠DFE，如何得到
∠AEF=∠DFE呢？因为AB=DC，AE=DF，又有CE=BF，则CE+EF=EF+FB，即CF=EB，
故△AEB≌△DFC，可利用全等三角形对应角相等， 则有∠AEF=∠DFE．
证明：∵CE=BF，∴CE+EF=EF+FB，即CF=EB． 又∵AB=DC，AE=DF，
∴△AEB≌△DFC（SSS）．
则∠AEF=∠DFE（全等三角形对应角相等）． 在△AEF和△DFE中，
?AE?DF,?， ??AEF??DFE,?△AEF≌△DFE（SAS）
?EF?EF,?∴AF=DE（全等三角形对应角相等）．
点拨：以“已知”看“需知”的分析方法，为寻找一个正确的证题提供了方向和方法，一般在证题时，常采取“从结论看需知，从已知看可知”的“两头凑”的方法．
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