十招绝技降服变力做功
功是高中物理的重要概念，对力做功的求解也是高考物理的重要考点，恒力的功可以用公式直接求解，但变力做功就不能直接求解了，需要通过一些特殊的方法，本文结合具体的例题，介绍十种解决变力做功的方法。
一. 动能定理法
例1. 如图1所示，质量为m的物体从A点沿半径为R的粗糙半球内表面以vA的速度开始下滑，到达B点时的速度变为vB，求物体从A运动到B的过程中，摩擦力所做的功是多少？
图1
分析与解：物体由A滑到B的过程中，受重力G、弹力
FN和摩擦力Ff三个力的作用，因而有
mv2v2Ff??FN，FN?mgcos???mgcos?，式中?为动摩擦因数，v为物体在某点的速度，?，即FN?mRR为物块与球心的连线与竖直方向的夹角。分析上式可知，物体由A运动到B的过程中，摩擦力Ff是变力，是变力做功问题，根据动能定理有W外??Ek，在物体由A运动到B的过程中，弹力FN不做功；重力在物体由A运动
到C的过程中对物体所做的正功与物体从C运动到B的过程中对物体所做的负功相等，其代数和为零。因此，物
体所受的三个力中摩擦力在物体由A运动到B的过程中对物体所做的功，就等于物体动能的变化量，则有：
W外?Wf??Ek
即Wf11?mvB2?mvA2 22可见，如果所研究的物体同时受几个力的作用，而这几个力中只有一个力是变力，其余均为恒力，且这些恒力
所做的功和物体动能的变化量容易计算时，此类方法解决问题是行之有效的。
小结：利用动能定理可以求变力做功，但不能用功的定义式直接求变力功，并且用动能定理只要求始末状态，不要求中间过程。这是动能定理比牛顿运动定律优越的一个方面。
二. 微元求和法
例2. 如图2所示，某人用力F转动半径为R的转盘，力F的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功。
图2
分析与解：在转动转盘一周过程中，力F的方向时刻变化，但每一瞬时力F总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即F在每瞬时与转盘转过的极小位移?s1、?s2、?s3……?sn都与当时的F方向同向，因而在转动一周过程中，力F做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和，即：
W?(F?s1?F?s2?F?s3?…?F?sn) ?F(?s1??s2??s3?…??sn)?F·2?R小结：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用W?Fscos?计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和，化曲为直的思想在物理学研究中有很重要的应用，研究平抛运动和单摆的运动时，都用到了这种思想。
三. 功能原理法
如果除重力和弹力之外的其他力对物体也做功，系统的机械能将不再守恒，而且这些力做了多少功、系统就有多少机械能发生转化，这就是功能原理。如果这些力是变力或只有一个变力做功，而其他力对物体做的功和系统机械能的变化量容易求得，就可以用功能原理求解变力做功问题。
例题同例1，求物体从A运动到B的过程中产生了多少热量。
分析与解：以AB为零势能点，则由A运动到B的过程中机械能变化为?E理，有能的转化过程，由机械能转化为热能?Q??E11?mvB2?mvA2，则由功能原2211?mvB2?mvA2。 22小结：在涉及重力、弹力之外的变力做功问题时，只要系统的机械能的变化容易求得，用功能原理求解该变力
所做的功比较方便。
四. 平均力法
例3. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）
分析与解：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度成正比。F?kx，可用平均阻力来代替。
如图3所示，第一次击入深度为x1，平均阻力为F11?kx1，做功为： 2
图3
1W1?F1x1?kx12
2第二次击入深度为x1到x2，平均阻力为：
1F2?k(x2?x1)
2位移为x2?x1做功为：
1W2?F2(x2?x1)?k(x22?x12)
2两次做功相等：W1解后有：x2?W2
?2x1?141.cm
?x?x2?x1?041.cm
小结：当已知力为线性变化的力时，我们可以求平均力，然后再利用功的公式进行求解。类似的例子还有很多，像求弹簧弹力做功时，就可以用这种办法。
五. 图象法 例题同例3
分析与解：因为阻力F?kx，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出F?x图象，如图4所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。
图4
由于两次做功相等，故有：
S1?S2（面积）
即
121kx?k(x2?x1)(x2?x1) 212?x?x2?x1?041.cm
小结：一个看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手，但通过图象变换，就使得解题过程简单、明了。
可见，图象法是一个很好的解题方法，值得掌握。
六. 用公式W=Pt求解
例4. 质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。
分析与解：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用W?Fscos?来求解，但可用公式W?Pt来计算。
根据题意，机车所受阻力
f?kmg，当机车速度达到最大值时，机车功率为：
P?Fv?fv?kmgv
根据P?W，该时间内机车牵引力做功为：W?Pt t根据动能定理W外??Ek，得牵引力克服阻力做功为：
1Wf?W??Ek?kmgvt?mv2
2故阻力做功为：
1W'f??Wf?mv2?kmgvt
2小结：对于交通工具以恒定功率运动时，都可以根据W
七. 能量守恒法
例5. 如图5所示，一劲度系数k=800N/m的轻弹簧两端各焊接着一个质量为m=12kg的物体。A、B竖立静止在水平地面上，现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s，B刚要离开地面。设整个过程弹簧都处于弹性限度内（g取10m/s）求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。 （2）此过程中力F所做的功。
2?Pt来求牵引力这个变力所做的功。
图5
分析与解：（1）设A上升前，弹簧的压缩量为x1，B刚要离开地面时弹簧的伸长量为x2，A上升的加速度为a。 A原来静止时，因受力平衡，有：
kx1?mg①
设施加向上的力，使A刚做匀加速运动时的最小拉力为F1，有：
F1?kx1?mg?ma②
B恰好离开地面时，所需的拉力最大，设为F2，对A有：
F2?kx2?mg?ma对B有：kx2③ ④
?mg由位移公式，对A有：
at2x1?x2?2由①④式，得：
⑤
x1?x2?mg?015.mk⑥
2由⑤⑥式，解得a?375.m/s分别解②③得：
⑦
F1?45NF2?285N⑧ ⑨?x2，弹性势能相等，由能量守恒知，外力做了功，将其他形式的能转
（2）力作用的0.4s内，在末状态有x1