§7 向量应用举例 7．1 点到直线的距离公式 7．2 向量的应用举例
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1．问题导航
(1)已知直线l的方向向量(M，N)或法向量(A，B)，如何设l的方程？ (2)向量可以解决哪些常见的几何问题？ (3)向量可以解决哪些物理问题？ 2．例题导读
P102例1.通过本例学习，学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离． 试一试：教材P102练习T1，T2，T3你会吗？
P102例2.通过本例学习，学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤． 试一试：教材P104习题2－7 B组T1你会吗？
P103例3，例4.通过此两例学习，学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题． 试一试：教材P104习题2－7 A组T3，B组T2你会吗？
1．直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量
(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．
(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．
B?n?A，(3)与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝＝?22?．
|n|?A＋BA2＋B2?2．点到直线的距离公式
点M(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 |Ax0＋By0＋C|d＝．
A2＋B23．用向量解决平面几何中的问题
(1)证明线段平行或相等，可以用向量的数乘、平行向量定理． (2)证明线段垂直，可以用向量数量积运算．
(3)利用向量数量积运算，可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积． 4．用向量解决解析几何中的问题
解析几何是在平面直角坐标系内研究图形的性质，这类问题大多适用于向量的坐标运算，建立适当的平面直角坐标系，设出向量的坐标，将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算．
5．向量在物理中的应用
向量有着丰富的物理背景，向量的物理背景是位移、力、速度等，向量数量积的物理背景是力所做的功，因此，利用向量可以解决一些物理问题．
用向量法解决物理问题时，要作出相应的几何图形，以帮助我们建立数学模型．向量在
1
物理中的应用，如求力的合成与分解，力做功等，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用获得的结果解释物理现象．
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．( )
→→
(2)若△ABC为直角三角形，则有AB·AC＝0.( )
→→
(3)若向量AB∥CD，则AB∥CD.( )
解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F1，F2的合力可按照向量加法的三角形法则求解．
(2)错误．因为△ABC为直角三角形，角A并不一定是直角，有可能是角B或角C为直角．
→→
(3)错误．向量AB∥CD时，直线AB∥CD或AB，CD重合． 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为( )
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3→→→→→→→→
解析：选A.AB＝(3，3)，CD＝(－2，－2)，所以AB＝－CD，AB与CD共线，但|AB|≠|CD2
|，故此四边形为梯形．
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为________N.
解析：
根据题意，当F1，F2夹角为90°时，
222
|F1|＋|F2|＝20，
因为|F1|＝|F2|，所以|F1|＝|F2|＝102，
→
则当F1，F2夹角为120°时，它们的合力大小为|AC|＝102. 答案：102
→→
4．在△ABC中，若C＝90°，AC＝BC＝4，则BA·BC＝________. 解析：因为C＝90°，AC＝BC＝4，所以△ABC为等腰直角三角形，
→→
所以BA＝42，∠ABC＝45°，所以BA·BC＝16. 答案：16
1．对直线l：Ax＋By＋C＝0的方向向量及法向量的两点说明
→
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)为直线上不重合的两点，则P1P2＝(x2－x1，y2－y1)及其共线
→→?y2－y1?与P的向量λP1P2均为直线的方向向量．显然当x1≠x2时，向量?1，?1P2共线，因此向
?x2－x1?
A?1?量?1，－?＝(B，－A)为直线l的方向向量，由共线向量的特征可知(B，－A)为直线l的
?B?B方向向量．
(2)结合法向量的定义可知，向量(A，B)与(B，－A)垂直，从而向量(A，B)为直线l的法向量．
2
2．向量法在几何证明与计算中的几个主要应用 (1)A、B、C三点共线的证法
→→→→
只需证AB＝λBC或 AB＝(x1，y1)，BC＝(x2，y2)满足x1y2－x2y1＝0. (2)证明AB⊥AC的方法
→→
只需证AB·AC＝0.
(3)求A、B两点间距离的方法
→
可把AB表示成λa＋μb或者求坐标(x，y)，然后利用向量的运算求解． (4)求∠AOB的方法
→→OA·OB利用数量积定义的变形cos∠AOB＝.
→→|OA||OB|
3．向量在物理中应用时应注意的三个问题
(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型． (2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．
(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识： ①力、速度、加速度和位移都是向量；
②力、速度、加速度和位移的合成与分解就是向量的加、减法； ③动量mv是数乘向量；
④功是力F与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．
向量在解析几何中的应用
(1)经过点A(－1，2)，且平行于向量a＝(3，2)的直线方程是________．
22
(2)已知圆C：(x－3)＋(y－3)＝4及点A(1，1)，M是圆C上的任一点，点N在线段
→→
MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．
→
[解] (1)在直线上任取一点P(x，y)，则AP＝(x＋1，y－2)， →
由AP∥a，得(x＋1)×2－(y－2)×3＝0，即2x－3y＋8＝0.故填2x－3y＋8＝0. (2)设N(x，y)，M(x0，y0)．
→→
因为MA＝2AN，所以(1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)，
??1－x0＝2x－2，??x0＝3－2x，所以?即?
??1－y＝2y－2，y＝3－2y，00??
22
又因为点M(x0，y0)在圆C：(x－3)＋(y－3)＝4上，
222222
所以(x0－3)＋(y0－3)＝4，所以(2x)＋(2y)＝4，即x＋y＝1，所以点N的轨迹方程22
为x＋y＝1.
将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何？
解：由法向量a＝(3，2)，设直线的方程为3x＋2y＋c＝0，又A(－1，2)在直线上，所以3×(－1)＋2×2＋c＝0，得c＝－1，即3x＋2y－1＝0.
方法归纳
3
向量在解析几何中的应用问题
向量与解析几何的综合是高考的热点．主要题型有：(1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合．(2)将向量作为描述问题或解决问题的工具．(3)以向量坐标运算为工具，考查直线与曲线相交、轨迹等问题．
1．(1)已知两点A(3，2)，B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m＝________． (2)已知点P(－3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满
3→→→→
足PA·AM＝0，AM＝－MQ.当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．
2
n1
解：(1)由已知得直线的一个法向量为n＝(m，1)，其单位向量为n0＝＝(m，2
|n|1＋m→→→
1)，在直线上任取一点P(0，－3)，则AP＝(－3，－5)，BP＝(1，－7)．依题意有|AP·n0|
|－3m－5||m－7|11→
＝|BP·n0|，即＝，解得m＝或m＝－6.故填或－6. 22
221＋m1＋m→
(2)设点M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a＞0)，则AM＝(x，y－b)，→
MQ＝(a－x，－y)．
3→3→
因为AM＝－MQ，所以(x，y－b)＝－(a－x，－y)．
22
????所以a＝，b＝－，即A?0，－?，Q?，0?.
2??3?32?
y?→?3y?→?
PA＝?3，－?，AM＝?x，?.
2?2???
32→→
因为PA·AM＝0，所以3x－y＝0.
42
即所求轨迹方程为y＝4x(x＞0)．
向量在平面几何中的应用
如图正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，
且AE、CD交于点P.求证：BP⊥DC.
(链接教材P100例2)
→→
[证明] 设PD＝λCD，并设三角形ABC的边长为a，则有： →→→→1→PA＝PD＋DA＝λCD＋BA
3
→→?2→→?1→1
＝λ?BA－BC?＋BA＝(2λ＋1)BA－λBC.
3?3?3
→→1→→→又EA＝BA－BC，PA∥EA，
3
1→→→1→所以(2λ＋1)BA－λBC＝kBA－kBC，
33
xyyx 4
1
（2λ＋1）＝k，31
于是有解得λ＝. 71
λ＝k，
3
→1→所以PD＝CD.
7
→→→1→4→所以BP＝BC＋CP＝BC＋BA，
77
→2→→CD＝BA－BC.
3
→→?1→4→??2→→?所以BP·CD＝?BC＋BA?·?BA－BC?
7??3?7?
8212102
＝a－a－acos 60°＝0. 21721
所以由向量垂直的等价条件知BP⊥DC.
方法归纳
用向量解决平面几何问题的两种常见思路 (1)向量的线性运算法
?????
选取基底―→把所求问题用基底线性表示 ―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系 ―→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法
建立适当的平面直角坐标系―→把相关向量坐标化―→向量的坐标运算找相应关系―→把向量问题几何化
2．(1)如图，在?ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD，则四边形AECF的形状是________．
(2)如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC的值．
→→→→→→→→→→
解：(1)由已知可设AB＝DC＝a，BE＝FD＝b，故AE＝AB＋BE＝a＋b，FC＝FD＋DC＝b＋a，
→→
又a＋b＝b＋a，则AE＝FC，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF是平行四边形．故填平行四边形．
→→
(2)法一：设BA＝a，BC＝b，|a|＝1，|b|＝2，
→
则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，BD＝a＋b. →→→→→
设BE＝λBC＝λb，则AE＝BE－BA＝λb－a.
→→
由AE⊥BD，得AE·BD＝0， 即(λb－a)·(a＋b)＝0，
5