解析：(a＋b＋c)＝|a|＋|b|＋|c|＋2(a·c＋b·c＋a·b)＝0，所以a·b＋b·c＋
31
c·a＝－.
2
31
答案：－
2
→→→→
9．在△ABC中，AB·AC＝|AB－AC|＝6，M为BC边的中点，求中线AM的长．
→→→→2
解：因为|AB－AC|＝6，所以(AB－AC)＝36. →2→2→→
即AB＋AC－2AB·AC＝36.
→→→2→2
又因为AB·AC＝6，所以AB＋AC＝48.
→1→→
又因为AM＝(AB＋AC)，
2
1→21→2→2→→
所以AM＝(AB＋AC＋2AB·AC)＝×(48＋12)＝15，
44→
所以|AM|＝15，即中线AM的长为15.
10．已知点A(－1，0)，B(0，1)，点P(x，y)为直线y＝x－1上的一个动点． (1)求证：∠APB恒为锐角；
→→
(2)若四边形ABPQ为菱形，求BQ·AQ的值．
解：(1)证明：因为点P(x，y)在直线y＝x－1上， 所以点P(x，x－1)，
→→
所以PA＝(－1－x，1－x)，PB＝(－x，2－x)，
→→22
所以PA·PB＝2x－2x＋2＝2(x－x＋1) ??1?23?
＝2??x－?＋?＞0， ??2?4?
→→PA·PB所以cos∠APB＝＞0，
→→|PA||PB|
→→
若A，P，B三点在一条直线上，则PA∥PB， 得到(x＋1)(x－2)－(x－1)x＝0，方程无解， 所以∠APB≠0，所以∠APB恒为锐角．
→→
(2)因为四边形ABPQ为菱形，所以|AB|＝|BP|，
22
即2＝x＋（x－2），
2
化简得到x－2x＋1＝0， 所以x＝1，所以P(1，0)，
→→
设Q(a，b)，因为PQ＝BA，
?a＝0，?
所以(a－1，b)＝(－1，－1)，所以?
??b＝－1，
→→
所以BQ·AQ＝(0，－2)·(1，－1)＝2.
[B.能力提升]
1.水平面上的物体受到力F1，F2的作用，F1水平向右，F2与水平向右方向的夹角为θ，物体在运动过程中，力F1与F2的合力所做的功为W，若物体一直沿水平地面运动，则力F2对物体做功的大小为( )
|F2||F2|cos θA.W B．W |F1|＋|F2||F1|＋|F2|
2222
11
|F2||F2|cos θ
W D．W
|F1|cos θ＋|F2||F1|＋|F2|cos θ
解析：选D.设物体的位移是s，根据题意有(|F1|＋|F2|·cos θ)|s|＝W，即|s|＝W|F2|cos θ
，所以力F2对物体做功的大小为W.
|F1|＋|F2|cos θ|F1|＋|F2|cos θ
?x，x≥y，?y，x≥y，??
2．记max{x，y}＝?min{x，y}＝?设a，b为平面向量，则( )
??y，x＜y，x，x＜y，??
A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|} B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
2222C．max{|a＋b|，|a－b|}≤|a|＋|b|
2222D．max{|a＋b|，|a－b|}≥|a|＋|b|
解析：选D.对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不确定，因此A，B均错，而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2.
→→→→
3．已知△ABC的面积为10，P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋2PC＝3AB，则△ABP的面积为________．
→→→→→→→→→→→→
解析：由PA＋PB＋2PC＝3AB，得PA＋PB＋2PC＝3(PB－PA)，所以4PA＋2(PC－PB)＝0，→→
所以2PA＝CB，由此可得PA与CB平行且|CB|＝2|PA|，故△ABP的面积为△ABC的面积的一半，故△ABP的面积为5.
答案：5
→
4．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，3)，C(3，0)，动点D满足|CD→→→
|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．
→→→→22
解析：设D(x，y)，由|CD|＝1，得(x－3)＋y＝1，向量OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋3)，→→→2222
故|OA＋OB＋OD|＝（x－1）＋（y＋3）的最大值为圆(x－3)＋y＝1上的动点到点(1，
22
－3)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)＋y＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加
C.
上圆的半径，即（3－1）＋（0＋3）＋1＝1＋7.
答案：1＋7
→→→
5．在平面直角坐标系xOy中，已知向量AB＝(6，1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，→→且BC∥AD.
(1)求x与y间的关系；
→→
(2)若AC⊥BD，求x与y的值及四边形ABCD的面积．
→→→→→
解：(1)由题意得AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，BC＝(x，y)，
→→
因为BC∥AD，所以(x＋4)y－(y－2)x＝0， 即x＋2y＝0.①
→→→
(2)由题意得AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)， →→→
BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，
→→→→
因为AC⊥BD，所以AC·BD＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
22
即x＋y＋4x－2y－15＝0，②
???x＝2，?x＝－6，
由①②得?或?
??y＝－1，y＝3.??
2
2
12
??x＝2，→→当?时，AC＝(8，0)，BD＝(0，－4)， ?y＝－1?
1→→
则S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16，
2
?x＝－6，?→→当?时，AC＝(0，4)，BD＝(－8，0)， ??y＝3
1→→
则S四边形ABCD＝|AC||BD|＝16，
2
??x＝2，??x＝－6，?综上或?四边形ABCD的面积为16. ?y＝－1??y＝3，?
6．(选做题)已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，现有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0 s时
→→
分别在P0、Q0处，问当PQ⊥P0Q0时所需的时间为多少？
2??2
解：e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝2，其单位向量为?，?；3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1
2??2
?3，2?＋2e2|＝13，其单位向量为??.
13??13
→→
依题意，|P0P|＝2t，|Q0Q|＝13t，
2?→→?2
所以P0P＝|P0P|?，?＝(t，t)，
2??2
→→?3，2?Q0Q＝|Q0Q|??＝(3t，2t)，
13??13
由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，
→→
所以P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3)，
→→→→
因为PQ⊥P0Q0，所以P0Q0·PQ＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
→→
即当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2 s.
13