华中师大一附中2012—2013学年度上学期高三期中检测
数学试题和答案（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
?１．?2?(1?cosx)dx=（ D ）
?2 A．π B．2
?12．“α≠”是“sinα≠”的（ B ）
62C．π—2 D．π+2
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设集合A??x|????0?,B??x|0?x?3? ，则A?B等于（ C ） x?1?xA．?x|1?x?3? B．?x|0?x?3? C．?x|0?x?1? D．? 4．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若
A．
310S3S6?13，则
S6S1218?（ A ）
19 B．
13 C． D．
???????????5．若两个非零向量a，b满足|a?b|?|a?b|?2|a|，则向量a?b与a?b的夹角为
（ C ）
??2?A． B． C．
6436??6．△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c，m?(a?b,c),n?(b?a,c?b)，
D．
5?
若m?n，则sinB＋sinC的取值范围是（ B ） A．(?
7．设正项等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S2012?2012，则
??12,0? B．（
32，3] C．[
12，1） D．[
32，1）
1a3?1a2010的最小值为
（ B ）
A．1 B．2 C．4 D．8
?2????????8．关于实数x的方程ax?bx?c?0，其中a,b,c都是非零平面向量且a,b不共线，则该方程解的情况是（ A ）
A．至多有一个解 C．至多有两个解
B．至少有两个解 D．可能有无数个解
9．已知函数f(x)?(x2?1)e2x 若0??2??90?，90°＜?＜180°a?(sin?)cos?，
b?(cos?)sin?，c?(cos?)cos?，则f(a),f(b),f(c)的大小关系是（ C ）
A．f(a)?f(b)?f(c) B．f(a)?f(b)?f(c) C．f(a)?f(c)?f(b) D．f(a)?f(c)?f(b)
10．已知f(x)?x2?bx?2,x?R，若方程f(x)?|x2?1|?2在（0,2）上有两个解x1,x2，则b的取值范围为（ C ）
A．?C．?5272?b??1 ?b??1
7252
B．?D．??b??1 ?b??1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
2?23?11．函数f(x)=cos（x+）＋cosx的图像的相邻两对称轴之间的距离是________．
323212.已知AB?(x,2x),AC?(?3x,2)，如果∠BAC是钝角，则x的取值范围是
(??,?13)?(?13,0)?(43,??)_____________．
13．某资料室使用计算机给文件编码，编码以一定的规律排列，如下表所示．从左至右以及从上到下都是无限的，此表中主对角线上的数列1,2,5,10,17,?的通项
an?__n?2n?2___________．
21 1 1 2 1 3 1 4
1 5 1 6 ．．． ．．．
1 1 1 ．．． 3 4 5 ．．． 5 7 9 ．．． 7 10 13 ．．． 9 13 17 ．．． 11 16 21 ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． 图所示的程
14.设函数f(x)?lnx?2x?6，根据如
序框图，输出的结果是
114 ．
15．已知函数F(x)?2x满足F(x)?g(x)?h(x)，且g(x),h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，若不等式g(2x)?ah(x)?0对?x??1,2?恒成立，则实数a的取值范围是__a??176_______．
三、解答题：(本大题共有6小题，共75分)
????16．（本题满分10分）已知向量a?(cosx,sinx),b?(?cosx,cosx),f(x)?2a?b?1，
??9??设p为“x??,”q为“|f(x)?m|?3”．若p为q的充分条件，求实数m的取值范??28?围．
??解：?f(x)?2a?b?1=2(?cos2x)?2sinxcosx?1?2sin(2x??4) ???2分
3????9???2x??2?,??2?f(x)?1 ???4分 p:当x??,时，?44?28?
q:又|f(x)?m|?3 ?m?3?f(x)?m?3 ???4分 若p为q的充分条件，则
??2?m?3?2 ???10分
?m?3??m?3?12 ???9分
17．（本题满分12分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000美元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300美元，请选择一种． 根据上述条件，试问：
(1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由)
(2)如果第二种方案中的每半年加300美元改成每半年加a美元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？ 解：(1)第10年末，依第一方案得：
1000?2000???10000?55000(美元) ???2分
依第二方案得300?300?2?300?3??300?20?63000 (美元) ???4分
?63000?55000?8000 (美元)
∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000美元．………………5分 (2)第n年末，依第一方案，得：1000(1?2?3???n)?500n(n?1)(美元)
依第二方案，得：a(1?2?3??2n)?an(2n?1) …………………………8分 由题意：an(2n?1)?500n(n?1) 对所有正整数恒成立 即a?500(n?1)2n?11000310003?250?2502n?1?250?2503?10003 ???10分
?a?，总是第二方案加薪多 ……………11分 美元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪.
答：当a????12分
18．（本题满分12分）在锐角?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c， 且3(sin⑴求tan2A?sin2C?sin22B)tanB?42sinAsinC
2A?C2?sinB2的值；
⑵若b?2，?ABC的面积为2，求a的值．
解：（1）由正弦定理得：3(a2?c2?b2)tanB?42ac
a?c?b2ac223222 ?tanB?223，即cosB?tanB?223
?sinB? ???4分
13 又?ABC为锐角三角形，?cosB?B2sinB1?cosB22B2
1?cosB22 又tan ?tan2??,sin2??13
12A?C2?sin2B2?tan2??B2?sinB2?tan2B2?sinB2?2?13?73
???8分
1212223（2）?S?ABC?acsinB??ac?2,?ac?3 （1） 2ac32222 又b?2，由余弦定理得：a?c??4,?a?c?6 （2）
由（1）（2）解得： a?3 ???12分
19．(本小题满分13分)
已知函数f(x)?lnx?ax(a?R) (1) 求函数f(x)的单调区间；
(2) 当a?0时，求函数f(x)在?1,2?上最小值.