解： (1) f?(x)?1x?a(x?0), …………………1分
1x?a>0，
①当a ≤ 0时，f?(x)?故函数f(x)为增函数，即函数f(x)的单调递增区间为(0,??)． …………………3分
②当a?0时，令f?(x)?当0?x?1a1xx?a?0，可得x??0；当x?11a1a,
1?axx?0，
时，f?(x)?1?ax时，f?(x)?1故函数f(x)的单调递增区间为(0,],单调递减区间是[,??). ……………… 6分
aa(2)①当
1a?1,即a?1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,
∴f(x)的最小值是f(2)?ln2?2a. ………………8分 ②当
1a?2，即0?a?12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，
∴f(x)的最小值是f(1)??a. ………………10分 ③当1?1a?2，即
111?a?1时，函数f(x)在[1,]上是增函数，在[,2]是减函数． 2aa所以f(x)的最小值产生于f(1)与f(2)之间， 又f(2)?f(1)?ln2?a， ∴当
1?a?ln2时,最小值是f(1)??a；
2当ln2?a?1时,最小值为f(2)?ln2?2a. ………………12分
l2时，综上所述,当0?a?ln2时, 函数f(x)的最小值是f(x)min??a；当a?n函数f(x)的最小值是 f(x)min?ln2?2a ………………13分
20．（本题满分14分）已知数列?an?的首项a1?2，前n项的和为Sn，且对任意的
n?N,n?2，an总是3Sn?4 与2?52Sn?1的等差中项．
（1）求证：数列?an?是等比数列，并求通项an； （2）证明：
12(log2Sn?log2Sn?2)?log2Sn?1；
（3）若bn?4an?1,cn?log2(4an2,),Tn,Rn分别为数列?bn?,?cn?的前n项和．问：是否
存在正整数n，使得Tn?Rn．若存在，请求出所有n的值；若不存在，请说明理由． 证：（1）当n?N,n?2时，2an?3Sn?4?2?52Sn?1?2,?Sn?1252Sn?1
即2(Sn?Sn?1)?3Sn??a1?a2?12Sn?1?2
a1?2,?a2?1
12Sn?2)?(12Sn?1?2)?1212(Sn?Sn?1)?12an（n?N,n?2）
故an?1?Sn?1?Sn?(又a2a1?12?0，所以数列?an?是以2为首项，
12n?1为公比的等比数列。 ???4分
?an?2??12n?2 ???5分
12???12)?4(1?n?12（2）由（1）知：Sn?2(1? 要证：
12(log212n)
Sn?log22Sn?2)?logSn?1
即证：Sn?Sn?2?Sn?1
而：Sn?Sn?2?4?1?()n?4?1?()n?2??16?1?5()n?()2n?22??222?? Sn?12?1??1?11?
1n?1???16?1?()?2??221n12n?2?16?1?4()?()221n?
2 ?SnSn?2?Sn?1??16()?0,?Sn?Sn?2?Sn?1
2 所以原不等式成立。 ???9分
4ann （3）?bn??1?2?1,cn?log2(4an)2,?2n
n?12?n?2,Rn?n?n ???10分 ?Tn?2
当n?1时，T1?1,R1?2,T1?R1 当n?2时，T2?4,R2?6,T2?R2
当n?3时，T3?11,R3?12,T3?R3
当n?4时，T4?26,R4?20,T4?R4 ???11分 当n?5时，Tn?Rn?(2n?1?n?2)?(n2?n) ?2n?1?(n2?2n?2)
（1?1）?(n?2n?2) ?012n?1nn?12 ?（Cn?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?Cn?1?Cn?1)?(n?2n?2)
n?1201222Cn?1?Cn?1?Cn?1)?(n?2n?2) ?（22 ?（n?3n?4)?(n?2n?2)
?n?1?0
因此存在正整数n，使得Tn?Rn，且所有n的集合为?4,5,6，??
???14分
21（本题满分14分）设函数f(x)?x?mln(x?1)
（1）曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，求实数m的值； （2）求证：
12n33?233?343???n?1n3?ln(n?1),(n?N)；
*（3）求证：?(sini?1i?1n?ni?n)?n(1?cos1?ln2)
mx?13解：（1）由f(x)?x?mln(x?1)，得f(x)?3x?'2,x?(?1,??)
由于曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行，
'所以f(1)?0 因此：m??6 ???3分
（2）因为等价于(等价于
(122123?123233?34133????133n?1n3?ln(n?1),(n?N) 1n2*122?)?(2)???(?1n3)?ln(n?1n?nn?1???21)
?123)?(132?133)???(1n2?111)?ln(1?)?ln(1?)???ln(1?) 312nn1令m?1,f(x)?x3?ln(x?1)
设h(x)?x2?f(x)?x2?ln(1?x)?x3
1x?1 则h＇?x?=?3x?2x?2=?3x?(x?1)x?132
当x??0,???时，h＇?x?<0,所以h?x?在?0,???上单调递减，又因为h?0?=0，所 以当x??0,???时，恒有h?x? n1k，则有 1k2?1k3< ln(1?1k) ??k?1(1k2?k)< 3123?k?1ln(1?3431k) n?1n3 即 ?233?????ln(n?1),(n?N)* ???9分 ⑶∵y?sinx在0?,1n?上单调递增， ??i?11101n?11n（sin+sin+...sin)］< n?sinxdx=n(?cosx)|0 = ［sin0nnnnni?1= n(1?cos1) ???11分 又y?n11?x在?0,1?上单调递减， 11?1n?11?2n?...?11?nn??i?1ni+n= = n[(n111?1n?11?2n?...?11?nn)]< n?1011?x dx 1 = nln(1?x)|0= nln2 ???13分 n?i?1(sini?1n?ni?n)?n(1?cos1?ln2) ???14分