31．（2015?南平）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F． 求证：BE=CF．
【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．
【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，则BO=CO．
∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF． 【点评】本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻． 32．（2013?临夏州）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC． 【解答】解：（1）BD=CD． 理由如下：依题意得AF∥BC， ∴∠AFE=∠DCE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
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，
∴△AEF≌△DEC（AAS）， ∴AF=CD， ∵AF=BD， ∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形． 理由如下：∵AF∥BD，AF=BD， ∴四边形AFBD是平行四边形， ∵AB=AC，BD=CD（三线合一）， ∴∠ADB=90°， ∴?AFBD是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 33．（2013?安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．
【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求． 【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE=BC， 又∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形；
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（2）解：∵∠BCF=120°， ∴∠EBC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2=8． 【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点． 34．（2014?梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中， ∵
，
∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．
（2）解：GE=BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵
，
∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
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【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立． 35．（2008?咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
【分析】（1）根据平行线性质和角平分线性质，以及由平行线所夹的内错角相等易证．
（2）根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证． 【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACB， ∴∠1=∠2， 又∵MN∥BC， ∴∠1=∠3， ∴∠3=∠2， ∴EO=CO，
同理，FO=CO， ∴EO=FO．
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形． 理由：
∵EO=FO，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形， ∵CF平分∠BCA的外角， ∴∠4=∠5， 又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=×180°=90°． 即∠ECF=90°，
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∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题涉及矩形的判定定理，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 36．（2015?张家界）如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证： （1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）易证四边形EFGH是平行四边形，那么EF∥GH，那么∠HGE=∠FEG，而EG是角平分线，易得∠HEG=∠FEG，根据等量代换可得∠HEG=∠HGE，从而有HE=HG，易证四边形EFGH是菱形． 【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D． 又∵AE=CG，AH=CF， ∴BE=DG，BF=DH， 在△BEF与△DGH中，
∴△BEF≌△DGH（SAS）， ∴EF=GH．
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