又由（1）知，△AEH≌△CGF， ∴EH=GF，
∴四边形EFGH是平行四边形， ∴HG∥EF，
∴∠HGE=∠FEG， ∵EG平分∠HEF， ∴∠HEG=∠FEG， ∴∠HEG=∠HGE， ∴HE=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 37．（2013?葫芦岛）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．
（1）求证：△ABD≌△EBD；
（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．
【分析】（1）首先证明∠1=∠2．再由BA⊥AD，BE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共边BD=BD可得△ABD≌△EBD；
（2）首先证明四边形AFED是平行四边形，再有AD=ED，可得四边形AFED是菱形．
【解答】证明：（1）如图， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠DBC． ∵BC=DC，
∴∠2=∠DBC． ∴∠1=∠2．
∵BA⊥AD，BE⊥CD ∴∠BAD=∠BED=90°，
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在△ABD和△EBD中∴△ABD≌△EBD（AAS）；
，
（2）由（1）得，AD=ED，∠1=∠2． ∵EF∥DA， ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3． ∴EF=ED． ∴EF=AD．
∴四边形AFED是平行四边形． 又∵AD=ED，
∴四边形AFED是菱形．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形． 38．（2013?三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB． （1）求证：△BCP≌△DCP； （2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 58 度．
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；
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（3）根据（2）的结论解答． 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， ∵在△BCP和△DCP中，
，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP， ∴∠CBP=∠CDP， ∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠1=∠2（对顶角相等），
∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E， 即∠DPE=∠DCE， ∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠ABC， ∴∠DPE=∠ABC；
（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC， ∵∠ABC=58°， ∴∠DPE=58°． 故答案为：58．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠BCP=∠DCP是解题的关键． 39．（2013?湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．
（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．
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【分析】（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD． 【解答】解：（1）AD=CF． 理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD， 即∠AOD=∠COF， 在△AOD和△COF中，∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴AD=CF；
，
（2）与（1）同理求出CF=AD，
如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=OE， ∵正方形ODEF的边长为， ∴OE=OD=×=2， ∴DG=OG=OE=×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4， 在Rt△ADG中，AD=∴CF=AD=
．
=
=
，
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分
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是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 40．（2009?临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 【分析】（1）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF． 【解答】解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME． ∴BM=BE，
∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°，
∵CF是外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N． 使AN=CE，连接NE． ∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG，
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∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°， ∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA）， ∴AE=EF．
【点评】此题主要考查学生对正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．
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