?2? （２）x(n)⑥y(n)＝?1?0?n?0，1，4，5n?2，3（2分） 其它?2x(n)⑦y(n)＝??1?0?n?0，4，5，6 n?1，3（2分）其它（３）由（２）知，当Ｎ的取值较小时，圆周卷积不能代替线性卷积，增大Ｎ，当Ｎ＝9，x(n)?⑨y(n)＝?2??0?1n?3,8n?4,5,6,7其它 可以代替线性卷积.故圆周卷积能代替线性卷积的条件是N?N1?N2?1,其
中N1和N2是x(n)和y(n)的点数。（3分）
23（1）已知一个IIR滤波器的系统函数 试用并联型结构表示此滤
波器。（5分）
1?1?1?1?1?1（2）已知一个FIR滤波器的系统函数 H(z)?(1?0.25Z)(1?6Z)(1?4Z)(1?Z)(1?Z)6
试用直接型结构实现此滤波器。（5分）
解:（1）、H(Z)?11?3Z?1?Z2??21?，（2分） 故级联型结构如图（a）所示。（3分） ?1?11?Z1?Z?1?（2）、H(Z)?(1?Z?1)(1?6Z1?)(1?4Z)(1?1Z?)(11?Z?)
1416?1?11?1627?2627?311?4（3分） Z?Z?Z?Z?Z?5（2分）故直接型结构如图（b）所示。
12242412-1x(n)y(n)Z?1Z?1Z?1Z?1Z?1x(n)Z?111112-1?62724y(n)2
图(b)
24、由题意N=15，且Ｈk=HN-k满足偶对称条件，H0=1，这是第一类线性相位滤
波器。（2分）
2?N?114N?1???k???k?k?(?)???相位，因此有： N 2 15 （ 2 分）
2 N 2 ?
jnk1N?11?1?nk h(n)??H(k)WN??Hkej?eNNk?0Nk?0 2?jnk1N?11N?1j??nk??H(k)WN??HkeeN
15k?0Nk?0 2?jnk114j???Hkee15
15k?0 14??2?14??2???n???j??14n??14???115151515???? ??1?0.5e?0.5e?15????
1?14??（3分） ?2???1?cos?n????15?15?? ?15kkk2图(a)Z?162724?11121 16
2???H(e)??H(k)????k?N??k?0??2??N?sin??k????2??N?1??14?j????k?N?2??N?2????????H(k)e??2???n?0Nsin????k?/2N?????j?N?1?2e?Nsin2?j14?15sin?NN?1?j?2?0.514?j?15??2??N?sin???????2??N?1?????14??N?2?N???e?j??2?????2???Nsin?????/2?N?????0.5??2??N?sin?????14???j????2??14?N?1?????N?2???e??N?2???2???Nsin?????14?/2?N???????115?11/2??sin???152????????14??sinsin???sin?????2?215??215???? （3分）
四、1、直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，在实际运用中，不能满足实时性的要求。（5分）
2、
x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)0WNX(0)W-10NX(4)X(2)-1W2NW-10NW-1-1-1-10N-1X(6)X(1)1WN0WNWW2N3NW-1-10N2N-1X(5)X(3)WW-10N
（评分标准：三级蝶形结构正确给4分，输入输出序排列正确给2分，其它系数正确给2分）
３、当x(n)的点数很多时，即当L>>M。通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积; 否则，使输出相对于输入有较长的延时。此外，若N=L+M-1 太大，h(n)必须补很多个零值点，很不经济，且FFT的计算时间也要很长。这时FFT法的优点就表现不出来了，因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法。即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，其中每一段的卷积均采用FFT方法处理。（４分）
重叠相加法：设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段： 则输入序列可表示成
X(7)x(n)??xi(n)i?0?
17
这样，x(n)和h(n)的线性卷积等于各xi(n)与h(n)的线性卷积之和，即
?
y(n)?x(n)?h(n)?xi(n)?h(n)（2分）
i?0每一个xi(n)*h(n)都可用上面讨论的快速卷积办
法来运算。 由于xi(n)*h(n)为L+M-1 点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点。 为便于利用基-2 FFT算法，一般取N=2m≥L+M-1，然后作N点的圆周卷积：
?
由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1）， 故相邻两段输出序列必然有（M-1）个点发生重叠，即前一段的后（M-1）个点和后一段的前（M-1）个点相重叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成输出y(n)。
分）
重叠相加法 （2
十一．两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：. (1) 序列y[n]的有效长度为多长？
(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？
(3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；
(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3)
2需要次复数乘法。
十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的
3LlogL补零L点-DFTL点-IDFT补零
L点-DFT18
DFT，回答下列问题：
(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？
(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WNr )。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。
解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。
(2)3级，4个，蝶距为(3) y[n]=y1[n]+jy2[n]
knY[k]??y[n]WNn?0N?12，WN0 ，WN2
1Y1[k]?Yep[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]} 21Y2[k]?Yop[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]}2十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。 (1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：
*共轭反对称分量： xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)*共轭对称分量： xe(n)?xe(N?n)?Xe(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）]
19
DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]
x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期性共轭反对称性 十四. 已知系统函数H(z)?解：
2?0.25z?1 H(z)??1?21?0.25z?0.3zY(z)2?0.25z?1 ??1?2X(z)1?0.25z?0.3z2?0.25z?11?0.25z?1?0.3z?2，求其差分方程。
Y(z)(1?0.25z?1?0.3z?2)?X(z)(2?0.25z?1)
y(n)?0.25y(n?1)?0.3y(n?2)?2x(n)?0.25x(n?1)
一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）
1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度
是 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。
nk2. DFT是利用WN的 、 和 三个固有特性来实现FFT快速运算
的。
3. IIR数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。 4. FIR数字滤波器有 和 两种设计方法，其结构
有 、 和 等多种结构。
二、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ）
2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（ ） 3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（ ） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（ ）
5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（ ） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（ ） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？
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