z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
Y(z)z?1?a*H(z)??X(z)1?az?1 解：(a)
?1?1* Y(z)(1?az)?X(z)(z?a) 对方程的两边进行反z变换： * y[n]?ay[n?1]?x[n?1]?ax[n]
e?j??a*j?H(e)?1?ae?j? (b)频率响应为：
所以幅值的平方为：
(*ej?)e?j??a*ej??a1?a?2Reaj?j?*j?H(e)?H(e)H(e)???1?j?*j?2*j?1?ae1?ae1?a?2Rea(e) 所以系统为一个全通滤波器
1?az?111?az?1G(z)??1??***?1z?aa1?(az)?
2*此系统在z?1/a处有一极点，在z?1/a处有一零点。因为a?1，极点在单位圆外。
2所以，如果 g[n]是稳定的，收敛域一定为z?1/a。因而g[n]是左边序列。
*?n?1*?(n?1)u[?n] g[n]?(a)u[?n?1]?a(a)
一、填空题：（每空1分，共18分）
1、数字频率?是模拟频率?对采样频率fs的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。
2、双边序列z变换的收敛域形状为 圆环或空集 。
kn3、某序列的DFT表达式为X(k)??x(n)WM，由此可以看出，该序列时域的长度为
n?0N?1N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 2? 。 M8(z2?z?1)4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)?2，则系统的极
2z?5z?2点为 z1??,z2??2 ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应h(n)的初值h(0)?4；终值h(?) 不存在 。
41
12
5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?n?63)，序列h(n)是一长度为
)，记y(n)?x(n)?h(n)（线性卷积）128点的有限长序列(0?n?127，则y(n)为
64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现
线性卷积，则FFT的点数至少为 256 点。
6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率?与数字频率
?之间的映射变换关系为???T。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波
2?tan()T2器时，模拟频率?与数字频率?之间的映射变换关系为????2arctan(?T)。 2或
7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)?h(N?1?n) ，此时对应系统的频率响应H(ej?)?H(?)ej?(?)，则其对应的相位函数为?(?)??N?1?。 28、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、
椭圆滤波器 。 三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为
y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?2x(n?1)
系统初始状态为y(?1)?1，y(?2)?2，系统激励为x(n)?(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej?)。
（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。 解：（1）系统函数为H(z)?1?2z?11?3zj??1?2z?2?z2?2zz2?3z?2e2j?
?2系统频率响应H(e)?H(z)z?ej??e2j??2ej??3ej?
解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得
Y(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?X(z)?2z?1X(z)
即：Y(z)?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)1?3z?1?2z?2?(1?2z?1)1?3z?1?2z?2X(z)
上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)?分别为
Yzi(z)??1?2z?11?3z?1?2z?2??z2?2zz2?3z?2z代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式z?3
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Yz?1zs(z)?1?21?3z?1??zz2?2z2z?2z?3?zz2?3z?2?z?3 将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得
Yzi(z)z?23?z??z?3z?2?42z?1?z?2 2315Yzs(z)?z?2z?1?2z?1??82zz2?3z?2z?3z?2?z?3
3即 z15Yzzi(z)?3z?4z?1?z?2 Yz)??8zzzs(22z?1?z?2?z?3 对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为
yzi(k)?[3?4(2)k]?(k)
y315zs(k)?[2?8(2)k?2(3)k]?(k)
故系统全响应为
y(k)?yy915zi(k)?zs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)
解二、（2）系统特征方程为?2?3??2?0，特征根为：?1?1，?2?2；故系统零输入响应形式为 yzi(k)?c1?c2(2)k
将初始条件y(?1)?1，y(?2)?2带入上式得
???y(1zi(?1)?c1?c2?2)?1 解之得 c?1???yzi(?2)?c1?c2(13，c2??4，4)?2故系统零输入响应为： yzi(k)?3?4(2)k k?0
系统零状态响应为
Yzs(z)?H(z)X(z)?1?2z?11?3z?1?2z??zz?3?z2?2zz2z2?3z?2?z?3 2315Yzs(z)?z?2z?2?1z?3?2z?1??82z?2?2zz?3zz?3
3即
z15Y?8zzzs(z)?2z?1?z?2?2z?3 对上式取z反变换，得零状态响应为 y315zs(k)?[2?8(2)k?2(3)k]?(k)故系统全响应为
y(k)?y?y915zi(k)zs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)
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四、回答以下问题：
（1） 画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。
（2） 利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）
x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)?1Q(0)Q1(1)?11X(0)?j?1jX(1)X(2)X(3)k010W20W2011W20W2rlk010W40W4011W40W42W40W42
4点按时间抽取FFT流图 加权系数 （2） ?0 ?1
Q(1)?x(0)?x(2)?2?1??1Q(1)?x(1)?x(3)?1?4??301??X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?10
3W40W43
?Q(0)?x(0)?x(2)?2?3?5?Q(0)?x(1)?x(3)?1?4?51 X(1)?Q0(1)?W4Q1(1)??1?j?3
X(2)?Q0(0)?W42Q1(0)?5?5?0 X(3)?Q0(1)?W43Q1(1)??1?3j
即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3 （3）1）对X(k)取共轭，得X?(k)； 2）对X?(k)做N点FFT；
3）对2）中结果取共轭并除以N。
五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为
1Ha(s)?2
s?1.414s?1试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为?c?0.5?rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T?1） 解：（1）预畸
?c??220.5?arctan(c)?arctan()?2 T2T21ss()2?1.414()?1224s2?2.828s?4 （2）反归一划
H(s)?Ha(s)s?s?c??
（3） 双线性变换得数字滤波器
H(z)?H(s)s?21?z?1?T1?z?14s2?2.828s?4s?21?z?11?z?1?(241?z?11?z?1)2?2.828?21?z?11?z?1
?4 44
?4(1?2z?1?z?2)13.656?2.344z?2?0.2929(1?2z?1?z?2)1?0.1716z?21z?1
（4）用正准型结构实现
x(n)10.2929y(n)21z?1?0.1716
六、（12分）设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：
h(n)21?134120n?2
图1
试求：（1）该系统的频率响应H(ej?)；
（2）如果记H(ej?)?H(?)ej?(?)，其中，H(?)为幅度函数（可以取负值），?(?)为相位函数，试求H(?)与?(?)；
（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、
带阻），说明你的判断依据。
（4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h(n)?(2,1,0,?1,?2)
H(ej?)??h(n)en?04?j?n?h(0)?h(1)e?j??h(2)e?j2??h(3)e?j3??h(4)e?j4?
?2?e?j??e?j3??2e?j4??2(1?e?j4?)?(e?j??e?j3?)
?2e?j2?(e?j2??ej2?)?e?j2?(ej??e?j?)?e?j2?[4jsin(2?)?2jsin(?)]
（2）H(e)?ej??j2?ej?2[4sin(2?)?2sin(?)]?ej(?2?)2[4sin(2?)?2sin(?)]?
H(?)?4sin(2?)?2sin(?)， ?(?)??2?2?
（3）H(2???)?4sin[2(2???)]?2sin(2???)??4sin(2?)?2sin(?)??H(?)
故 当??0时，有H(2?)??H(0)?H(0)，即H(?)关于0点奇对称，H(0)?0；
当???时，有H(?)??H(?))，即H(?)关于?点奇对称，H(?)?0
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