点评：此题解答的关键在于找出三角形ABC边的中点，进而解决问题．
10.（2012?渠县）有一棱长为5cm的正方体机器零件，现在它的上下面挖去了一个直径为2cm的圆孔，求剩下机器零件的表面积和体积？
【答案】剩下机器零件的体积是109.3立方厘米，表面积175.12平方厘米． 【解析】
试题分许：（1）运用正方体体积减去圆柱体的体积，就是剩下机器零件的体积． （2）运用正方体的表面积减去两个圆的面积在加上圆柱的侧面积，就是剩下机器零件的表面积．
解答：解：（1）剩下机器零件的体积： 5×5×5﹣3.14×（2÷2）×5， =125﹣15.7， =109.3（立方厘米）；
答：剩下机器零件的体积是109.3立方厘米． （2）剩下机器零件的表面积： 5×5×6﹣3.14×（2÷2）×2+3.14×2×5， =150﹣6.28+31.4， =175.12（平方厘米）；
答：剩下机器零件的表面积175.12平方厘米．
点评：本题考查了正方体圆柱体的体积公式及它们的表面积及侧面积公式．考查了学生的空间想象及思维能力．
11.（2012?湖北）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少．
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【答案】梯形的面积是45 【解析】
试题分许：由蝴蝶定理得，S2=S4，再由共高定理得S1×S3=S2×S4，求得 S2=10，据此即可解答问题．
解答：解：根据题干分析可得：由蝴蝶定理得，S2=S4， 再由共高定理得S1×S3=S2×S4， 5×20=S2×S4， S2×S4=100， 所以S2=S4=10，
则梯形的面积总和：5+10+10+20=45， 答：梯形的面积是45．
点评：此题主要考查利用蝴蝶定理和共高定理解决实际问题的灵活应用． 12.（2012?广州校级自主招生）如图中，三角形的个数有多少？
【答案】图中一共有22个三角形 【解析】
试题分许：首先数出单一的小三角形是16个，再分类数出由4个小三角形组成的稍大的三角形，顶点朝上的是3个；顶点朝下的是3个；然后合并起来即可．
解答：解：根据图形特点把图中三角形分类，即一个面积的三角形是16个；还有一类是4个面积的三角形，顶点朝上的有3个，顶点朝下的也有3个； 故图中共有三角形个数为：16+3+3=22（个）． 答：图中一共有22个三角形．
点评：此题主要考查，按照一定的顺序去观察思考问题，逐步学会通过观察思考探寻事物规律的能力．
13.（2012?恩施州）水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
【答案】容器A中水的高度是2.56厘米 【解析】
试题分许：根据圆柱的体积公式v=sh，求出B容器的容积是：3.14×（16÷2）×10=2009.6（立方厘米），
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）=78.5（平方厘米），5秒钟后B中的水流到A容器了，用流到A容器中水的体积除以A容器的底面积，即为容器A中水的高度，据此解答即可． 解答：解：B容器的容积是：：3.14×（16÷2）×10=2009.6（立方厘米）； A容器的底面积是：3.14×（10÷2）=78.5（平方厘米）； 流到A容器的体积是：2009.6×
=200.96（立方厘米）；
2
2
2
2
容器A中水的高度是：200.96÷78.5=2.56（厘米）； 答：容器A中水的高度是2.56厘米．
点评：此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到A容器中水的体积．
14.（2012?北京）如图：梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于M，梯形的面积．
，若S△ADM=1求：
【答案】梯形的面积是16 【解析】
试题分许：根据题意知道△AMD与△BMC相似，由此得出△BMC的面积，再根据
，
知道△ADM与△ADB高的比是1：4，进而求出△ABD的面积，用△ADB的面积乘2再减去△ADM的面积，再计算△BMC的面积就是梯形的面积． 解答：解：因为，所以S△ADM：S△BDM=1：9， 所以S△BDM=S△ADM×9=1×9=9， 又因为△ADM与△ADB同底， 高的比是1：4， 所以S△ADM：S△ADB=1：4， 所以S△ADB=S△ADM×4=1×4=4，
，所以△AMD与△BMC相似，
所以梯形的面积为：4×2﹣1+9=16， 答：梯形的面积是16．
点评：此题考查了相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质及底一定时，三角形的面积与高成正比的关系的灵活应用．
15.（2011?长沙）把自然数依次排成以下数阵： 1，2，4，7，11，… 3，5，8，12，… 6，9，13，… 10，14，… 15，… …
现规定横为行，纵为列．求
（1）第10行第5列排的是哪一个数？ （2）第5行第10列排的是哪一个数？ （3）2004排在第几行第几列？
【答案】第10行第5列排的是101，第5行第10列排的是96，2004排在第51行第13列 【解析】
试题分许：通过观察，这个数阵有如下规律：
①将从1开始的自然数按右下斜行排列，例如第一斜行是1，第二斜行是2、3，…； ②同行相邻两数的差每次+1，同列相邻两数的差也是每次+1； ③相邻两行（列），从左到右同列（行）两数的差每次+1．
（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5，根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6，然后再根据规律②，求出第10行第5列排的是多少即可； （2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4，根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5，然后再根据规律②，求出第5行第10列排的是多少即可； （3）首先判断出2004在哪个斜行，前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列，当n=62时，62×63÷2=1953；当n=63时，63×64÷2=2016，所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列，因为2004﹣1954=50，所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）．
解答：解：（1）第5列第一个数是11，而第4列第一、二行两个数的差是5， 根据规律③，可得第5列第一、二行两个数的差是6， 根据规律②，可得求出第10行第5列排的是：
11+（6+7+8+9+10+11+12+13+14）=11+（6+14）×9÷2=101； 答：第10行第5列排的是101．
（2）第5行第一个数是15，而第4行第一、二列两个数的差是4， 根据规律③，可得第5行第一、二列两个数的差是5， 根据规律②，可得求出第5行第10列排的是： 15+（5+6+7+8+9+10+11+12+13）=15+（5+13）×9÷2=96； 答：第5行第10列排的是96．
（3）因为前n个斜行数字个数是首项、公差都是1的等差数列， 当n=62时，62×63÷2=1953； 当n=63时，63×64÷2=2016，
所以2004在第63斜行，而这一斜行的第一个数是1954，即1954位于第1行第63列， 因为2004﹣1954=50，
所以2004排在第1+50=51（行），第63﹣50=13（列）． 答：2004排在第51行第13列．
点评：此题主要考查了数阵图中找规律问题的应用，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是判断出数列的排列规律，并能正确应用．
16.（2010?吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立方厘米．当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米．请你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？
【答案】瓶内酸奶体积是25.92立方厘米 【解析】
试题分许：因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体积应相同．将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高为8+2=10厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的，由此算出瓶内酸奶的体积．
解答：解：8+2=10（厘米）， 32.4×=25.92（立方厘米）， 答：瓶内酸奶体积是25.92立方厘米．
点评：解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它的底面积相等、高8+2=10厘米的圆柱的体积，进而求出答案．
17.（2008?建阳市）一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？ 【答案】可以装0.48米高 【解析】
试题分许：由题意知，“沙”由圆锥体变为长方体，形状变了但体积没变，即V圆锥=V长方体，由此可利用它们的体积公式求装多高． 解答：解：3.6×1.2×÷（2×1.5）， =1.44÷3， =0.48（米）； 答：可以装0.48米高．
点评：此题考查了圆锥体积的求法和长方体底面积的求法，求圆锥体积时不要忘了乘．