t?T6?s?0.75s 884.23 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
x1?5?10?2cos(4t?)(SI)
3?x2?3?10?2sin(4t?)(SI)
6画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。
????2?解析：x2?3?10?2sin(4t?)?3?10?2cos(4t??)?3?10?2cos(4t?)
6623作两振动的旋转矢量图，如图所示。 由图得合振动的振幅和初相分别为 A＝(5-3)cm=2cm，???3
合振动方程为x?2?10?2cos(4t?)(m)
3
4.24 质量为m的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为
?x?4.0?10?2cos(2??t?)(SI) 332??y?3.0?10?2cos(t?)(SI)
36试求：（1）质点的运动轨迹方程；（2）质点在任一位置时所受的作用力。
解析：（1）由题意：x?4.0?10?2cos(2??t?)， 332??2???2??y?3.0?10?2cos(t?)?3.0?10?2cos(t??)?3.0?10?2sin(t?)
3633233以上两式化简后得：
x2y2??1 0.0420.032（2）t时刻质点的位矢为
r?xi?yj?4.0?10?2cos(d2r2?a?2??()2r
dt32??2??t?)i?3.0?10?2cos(t?)j，所以加速度为 3336因此质点在任一位置所受的作用力F??m(2?2)r 方向始终指向原点 34.25 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5ｍ，弹簧平均负重5.4×10４N，而弹簧每受9.8×103N的力将压缩1.6mm。试问火车速度多大时，振动特别强?
9.8?103N?m?1?6.125?106N?m?1 解析：由题意可得弹簧劲度系数k??31.6?10k6.125?106系统的振动角频率???rad?s?1?33.34rad?s?1 4m5.4?10火车的固有周期T?2???2?3.14s?0.18s 33.34因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是
v?L12.5?m?s?1?69.4m?s?1时，振动将特别强烈。 T0.184.26 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm，经过多长时间振幅将变为 0.30cm?
解析：阻尼振动的振幅表达式是：A?A0e??t，代入数据可得：
1.0?3.0e?10? 0.3?3.0e??t'
解得： t’=20.96s 4 开放性习题
6.27 请以“共振”为关键词，通过互联网了解物理学、社会学、管理学等领域里共振效应。(略)
第5章 机械波
5.1基本要求
1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.
2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．
3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件. 4．理解驻波及其形成。
5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.
5.2基本概念 1．机械波
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。
2.波线与波面 沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。 3．波长? 在波传播方向上，相位差为2?的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。
4．周期T与频率? 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。
5．波速u 单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。
6．平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为
y?Acos(?t2??x??)
?或y?Acos??(t?x?)??? u?其中，“-”表示波沿x轴正方向传播；“+”表示波沿x轴负方向传播。 波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置的位移。
7．波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相
112?等。任意体积元的dWP=dWk?dW??dVA2?2sin2(?t?x??)
22?8．平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I表示。 其中w?wuTS11T12222I??wu??A?u ，wdt???A?0TS2T29．波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。
10．波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差????2??1?2πr2?r1?，
????2kπ?k?0,1,2,...? 时，合振幅达到极大Amax?A1?A2，称为干涉相长
?k?1,2,3...?振幅为极小，A?2πxcos?t。
?????2k?1?πA1?A2，称为干涉相消。
11．驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。 驻波方程：y?2Acos?12．半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。
13．多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。
5.3基本规律
1．惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻的波面是半径为R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S1面上各点为中心，以r?u?t为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S2就是（t+Δt）时刻的波面。
2．多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率?R和波源的频率?S不相同的现象称为多普勒效应。 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为?R?u：机械波在介质中的传播速度
vS：波源相对于介质的速度 vR：观察者相对于介质的速度为
图5-1
u?vR?S。 uvS观察者接近波源时，vR前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，vS前取“-”号，远离时，则取“+”号。
5.4学习指导
1重点解析
下面将讨论本章的习题分类及解题方法：
（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.