通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。 （2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式
基本步骤如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b)在波线上建立坐标后，任取一点P，距原点为x，计算出p点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t’，即得该波的表达式。也可计算出P点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为
2??x，则将原振动表达式中的相位加上或减去
2??x。
注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。
（3）已知波形曲线，建立波动表达式
从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。
例1 已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播，已知波的周期T?3s.
求（1）该波的波函数；（2）点P处质元的振动方程。
分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A、?、?。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可求P处质元的振动方程。
解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅
A?4?10?2m，T?3s图5-2
，则圆频率
??2?2??rad?s?1 T3波沿x轴正向传播，显然v0?0，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则????3，于是原点处质元的振动方程为
y?4?10?2cos(2??t?)m 332?2??t?x?)m 3?3为求波函数，要求出波长?或波速u。 先设波函数为y?4?10?2cos(由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m处，y??4?10?2m,代入波函数
?4?10?2?4?10?2cos(?得??1.2m
2??0.4?) ?32?5??t?x?)m 3332??t?)m 33?所以波函数为y?4?10?2cos(（2）P点 x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是
y?4?10?2cos(
（4）波的干涉和驻波
波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。
例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为
4?x?8?t) 34?y1?4.00?10?2cos(x?8?t)
3y1?4.00?10?2cos(求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 解：（1）与标准的波动方程y?Acos(?t2??x??)比较可得：
频率??4Hz、波长??1.50m、波速u?????6.00m?s?1。
4??x??(k??) 3231则有：x??(k?)(k?0,1,2,3)
424?（3）波腹位置：x??k?
3（2）节点位置
3则有：x??k4(k?0,1,2,3)
（5）多普勒效应
求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。
2难点释疑
疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。
两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。其表达式为：
y?Acos(?t?2π?x)?Acos(?t?2π?x)?2Acos2π?xcos?t
波节位置：x??(2k?1)波腹位置：x???4(k?0,1,2,)
k?2(k?0,1,2,)
??，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧范22围内媒质的振动相位差为π。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”相邻两波节或波腹之间的距离为
字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。
半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。相对于入射波，反射波相位突变π，相当于出现了半个波长的波程差。 疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。
理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很
图5-4
多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没
有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。
5.5习题解答
5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量[ ] (A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 解析：正确答案（B）
介质中某质元的动能表达式dWk?能dWp?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，质元的弹性势2?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，所以在波动传播的介质中，任一体积元2?的动能、势能均随x,t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。
5.2 一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3?t－?x+?) (SI)t = 0 时的波形曲线如图所示，则[ ] (A) O点的振幅为－0.1m (B) 波长为3m (C) a、b两点间相位差为?/2 (D) 波速为9m/s 解析：正确答案（C） 波动方程的一般表达式是
习题5.2图
y?Acos(?t?2??x??)，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m，
波长??2m，角频率??3?rad?s?1，所以波速u?a、b两点间距离差是
???2π?r??2????3?m?s?1?3m?s?1。2?2??，对应的相位差是 4?5.3 某平面简谐波在t = 0.25s时波形如图所示,则该波的波函数为[ ]
2π?π?rad?rad。 ?42x?(A)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(B)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(C)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82x?(D)y?0.5cos[4?(t?)?]cm
82解析：正确答案（A）
y(cm) 0.5 O 习题5.3图
u=8cm/s t=0.25s x(cm) x??波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，由图可知，
u??A=0.5cm ,u?0.08m?s?1, 所以x 前系数取负值。t=0.25s时，y0?0，v0?0，此时的相位是
? 2已知条件代入方程可得：????2
x?所以，波的波函数为y?0.5cos[4?(t?)?]cm
825.4 一余弦波沿x轴负方向传播，已知x=-1m处振动方程为y?Acos(?t??)，若波速为ｕ，则波动方程为[ ]
??x????x?1??(A)y?Acos???t????? (B)y?Acos???t????? uu??????????x?1????x?1??(C)y?Acos???t? (D) ??y?Acos?t?????????u?u???????解析：正确答案（C）
x??沿x轴负方向传播的波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，本题中
u??x=-1m处的相位是?t??，相位差与波程差之间的关系是???知任意x处的相位比x=-1m的相位多
2π??r??u?r，可
?u(x?1)，所以任意x处的相位是
?t????u(x?1)??(t?x?1)??。 u5.5 频率为100Hz，传播速度为300m?s?1的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π，则此两点相距[ ]