MatLab讲义 2002年9月版
(4,4) 7
sparse(i,j,u):函数直接造成稀疏矩阵，i,j为向量分别对应行号和列号，u也为向量，存储非元素的值.
i=[1,2,2,3,4] j=[2,2,4,1,4] u=[1,3,4,5,7] A=sparse(i,j,u)
full函数把稀疏矩阵还原为完全矩阵。 (5)数组及其运算：
数组可以看作是行向量，实质为阵列运算。是元素对元素的运算，用句号（.）来区别。 数组和矩阵之间的区别在于运算规则不同，矩阵运算由线性代数规则来定义。 运算符：+,-和.*, ./, .\\,.^ A.*B：A与B对应的元素相乘 A.\\B：B的元素除以A的相应元素 A./B: A的元素除以B的相应元素
A.^B:A的元素为底，B的相应元素为幂的数组 如：a=[1:3;4:6;7:9] b=a; c=a+b; c=a-b 查看下列运算的结果：
a*b a.*b a/b a./b a\\b a.\\b a^b(指数和底数均为矩阵，无法求解) a.^b a? a.?
2.3 基本数学函数
abs（绝对值或复数模） sqrt （平方根） real（复数的实部） imag （复数的虚部） conj（复数的共轭）
round （舍入为最接近的整数） //round(-0.5)=-1 round(0.4)=0 fix （向0方向舍入为整数） //fix(0.99)=0 fix(1.01)=1 floor （向负无穷大舍入为整数） //floor(-0.5)=-1 floor(0.5)=0 ceil （向正无穷大舍入为整数） //ceil(-0.5)=0 ceil(0.6)=1 sign （符号函数）
rem（x,y） （取余数函数） //得到x/y的余数，rem(11,4)=3
sin cos tan asin atan //三角函数都是面向阵列中的元素操作，角度单位均为弦度。 atan2(y,x) //-pi <= atan2(y,x) <= pi sinh （双曲正弦） cosh tanh exp （以e为底的指数） log （自然对数） log10 （常用对数） bessel （贝塞尔函数） gamma （伽码函数）
rat （无理数的分式有理逼近）[N, D] = rat(x,tol), 要求：abs(x-N/D)<=tol*abs(x), tol的缺省值为tol = 1.e-6*norm(X(:),1) 其中：norm( X ( : ),1) = max(sum(abs((X))))
2.4 关于矩阵的一些有用的工具
产生矩阵的工具: ? ?[]?表示空矩阵
空矩阵不包含任何元素，它的维数为0*0；空矩阵可以在运算中传递。 例：A=[1，2，3；4，5，6；7，8，9] A（2，：）=[]
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输出： A=
1 2 3 7 8 9
空矩阵有矩阵缩维的作用。
? eye:单位矩阵：对角线元素为1。 A=eye(3,3) A=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
? zeros：所有的元素都是0
Z = zeros(2,4) Z =
0 0 0 0 0 0 0 0
? ones：所有的元素都是1
Z= 5*ones(3,3) Z =
5 5 5 5 5 5 5 5 5
? rand： 矩阵元素是用均匀分布在[0.0,1.0]内产生的随机数 ? rand(n)：产生一个n阶（0-1）的随机矩阵
Z=rand(3) Z =
0.1094 0.6599 0.1785 0.9888 0.3514 0.3573 0.5860 0.8495 0.5347
rand(m,n): 产生一个m*n阶（0-1）的随机矩阵
Z=rand(1,6) Z =
0.5976 0.4628 0.7678 0.5902 0.3969 0.1927
产生[-a,a]之间均匀分布的随机数的公式：R=a-2*a*rand(m,n) ? randn：矩阵元素是用期望为0,方差为1的正态分布产生的随机数
Z=randn(3) Z =
-0.4326 0.2877 1.1892 -1.6656 -1.1465 -0.0376 0.1253 1.1909 0.3273
产生均值为b,方差为q2的正态分布随机数的公式：S=q*randn(m,n)+b ? 其它特殊矩阵：
例：a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
1．diag(a) %% 生成矩阵a的对角矩阵 ans = 1 5 9
2．compan:伴随矩阵 例：
u = [1 0 -7 6]
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A = compan(u) A =
0 7 -6 1 0 0 0 1 0
eig(compan(u)) ans = -3.0000 2.0000 1.0000 即方程的根。
3．magic:魔方矩阵（矩阵的元素由1~10组成，行、列和对角线之和相等） 例：magic(5) ans =
17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9
4．tril(a) %% 生成矩阵a的下三角矩阵 ans =
1 0 0 4 5 0 7 8 9
5．triu(a) %%生成矩阵a的上三角矩阵 ans =
1 2 3 0 5 6 0 0 9 注：1.下标引用：
在Matlab中，矩阵元素的引用可用两个下标来表示,如矩阵A中，第i行第j列的元素用A(i,j)引用，也可以用一个下标来表示，用单个下标表示元素并不只限于矢量。对于矩阵，由于Matlab的运算基本上都是对列操作的，矩阵可以认为是按列优先排列的一个长的列矢量，从而可用单下标引用。
例如2*2的矩阵，A(1)表示第一列的第一个元素，A(2) 表示第一列的第二个元素，A(3)表示第二列的第一个元素，A(4)表示第二列的第二个元素，当矩阵的下标超出矩阵的实际元素的下标时，将给出错误信息。但是，当某个值被赋给矩阵的一个新的元素时，Matlab会自动增加矩阵的维数大小。例如4*4的矩阵A，执行命令A(4,5)=17后，矩阵A将变成4*5的矩阵。
在下标的表达式里使用冒号表示矩阵的一部分。例如矩阵A(1:k,j)表示矩阵A的第j列的前k个元素。例如sum(a(1:4,4))，表示计算第四列的前四个元素元素的和。
A(:,j)表示矩阵A的第j列的所有元素。由于有了冒号运算符，例如求矩阵A的第j列元素之和 ，表示式为sum(A(:,j)。
2．如何建立多维矩阵：
在科学研究与工程运算中，要建立多维矩阵，方法之一是扩展二维矩阵。 例：先建立一个简单的二维矩阵： a=[5 7 8;0 1 9;4 3 6] 为a矩阵扩展第三维
a(:,:,2)=[1 0 4;3 5 6;9 8 7]
方法之二，使用cat函数。它将现有的矩阵按照指定的维数建立新的多维矩阵。 B=cat(dim,A1,A2,...)
例:b=cat(3,[2 8;0 5],[1 3;7 9])
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2.5 复杂的矩阵运算
一些矩阵运算：
size(A)： 得到矩阵的阶，得到矩阵的n行m列. rank(A)： 得到矩阵的秩 det(A)： 行列式
eig(A)： 特征值和特征向量 e=eig(A) 得到特征值 [v,d]=eig(A): A*v=v*d
svd(A)： 矩阵的奇异值分解[u,s,v]=svd(A), u,v正交阵，s对角阵，A=usv? cond(A)：得到矩阵的条件数 （最大奇异值和最小奇异值的比值） lu(A): LU分解（A必须是一个方阵）
[l,u]=lu(A)： u上三角阵，l：一个下三角阵和一个置换矩阵的积 [l,u,p]=lu(A)：u上三角阵，l：下三角阵，p：置换矩阵 qr(A)： QR分解
[q,r]=qr(A)：r：上三角阵，q：正交阵
2.6 矩阵输出格式
格式命令（数字）
X=[4/3 1.2345e-6];
format short：以定点数形式显示，小数后面保留4位有效数字
X X =
1.3333 0.0000
format short e：以浮点数形式显示,小数后面保留4位有效数字
X X =
1.3333e+000 1.2345e-006
format short g：以定点数或浮点数的最佳形式显示，小数后面保留4位有效数字
X X =
1.3333 1.2345e-006
format long：以定点数形式显示，小数后面保留14位有效数字
X X =
1.33333333333333 0.00000123450000
format long e 以浮点数形式显示，小数后面保留14位有效数字
X X =
1.333333333333333e+000 1.234500000000000e-006
format long g 以定点数或浮点数的最佳形式显示，小数后面保留14位有效数字
X X =
1.33333333333333 1.2345e-006
format bank 以货币方式显示
X X =
1.33 0.00
format rat 用有理数近似表示
X X =
4/3 1/810045
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format hex 用16进制表示
X X =
3ff5555555555555 3eb4b6231abfd271
format compact 以紧凑形式显示 （format loose 以松散形式显示）
X X =
3ff5555555555555 3eb4b6231abfd271
长命令行 用“…”来表示连接
第三章 图形
在分析问题的结果的时候，图形往往是一种很有用的工具，它可以帮助我们直观地了解结果的某些性态。Matlab提供了很强的图形功能，能够在根据向量或矩阵给定数据来生成图形。
Matlab图形有数据可视化和图形处理两大功能，在数据的可视化部分，Matlab可使用户计算所得的数据根据其不同情况转化成相应的图形。用户可以选择直角坐标、极坐标等不同的坐标系；它可以表现出平面曲线、空间曲线，绘制直方图、向量图、柱状图及空间网状面图、空间表面图等。
图形函数有4种：
通用图形函数、二维图形函数、三维图形函数、特殊图形函数. 建立一个图形的步骤： 步 骤 典型代码 1）准备数据 x=0:0.2:12 y1=bessel(1,x); y2=bessel(2,x); y3=bessel(3,x); 2)选择窗口，决定绘图位置 figure(1) subplot(2,2,1) 3)调用基本绘图函数 h=plot(x,y1,x,y2,x,y3); 4）设置绘图线条样式和标记 set(h,'LineWidth',2,{'LineStyle'},... {'--';':';'-.'} set(h,{'Color'},{'r';'g';'b'}) 5）设置坐标轴范围、刻度和栅格线 axis[0 12 -0.5 1]) grid on 6）标记图形坐标轴、图形图例以及其它文字 xlable('Time') ylable('Amplitude') legend(h,'First','Second','Third') title('Bessel Functions)' [y,ix]=min(y1); text(x(ix),y,'First Min\\rightarrow'... 'HoizontalAlignment','right') 7）打印图形 print -dps2 3.1 图形窗口
图形窗口（Figure Window）是所有Matlab的图形输出的专用窗口。figure:用来打开一个绘图窗口，以供后续绘图命令输出图形。
创建图形窗口的命令：figure 两种格式：figure figure(n)
图形窗口的名称是按照该窗口创建的时间顺序依次命名的：Figure No.1,Figure No.2.....Figure No.n,命令figure将创建一个名为figure No.n+1的新的空白图形窗口，而figure(n)命令则若figure
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