CAD系统中显示定位下的测量数据，并移动某一定位下的数据，使该定位下的所有测量数据整合到另一定位下。
二） 由点云数据生成曲面的三维造型技术
曲面重建可以说是反求工程的另一个核心及主要的目的，是以所扫描得到的点云数据为输入数据来重新建构曲面模型。得到产品的数据后，以反求工程软件进行点数据的处理，经过分门别类、群组分隔、点线面与实体误差的比对后，再重新建构曲面模型，产生CAD数据、制造或NC加工或RP制作，这部分即为后处理。目前在点云生成曲面的过程中，主要有三种曲面构造的方案：其一是以B-Spline或NURBS曲面为基础的曲面构造方案；其二是以三角Bezier曲面为基础的曲面构造方案；其三是以多面体方式来描述曲面物体。
在反求工程的技术发展中有一重要课题，即是建立产品的CAD 模型，并由此可再进一步的到CAM处理或CAE的分析，而仿制出产品的外型。一般而言，CAD模型是由许多不同的几何形状所组合而成，而每一种几何形状都有其特性。因此若要将产品应用反求工程的技术，反求出此产品的原CAD 模型，则并非单纯的使用一种方法即可完成，而须视此产品外型的几何特性，选择适当的处理方法，方可得出良好的几何形状，以满足产品外型的几何特性。由此可知，在曲面重建的过程中了解其曲面的特性及其曲面的数学模式，在对于我们重新建构曲面时可以帮助我们节省很多的时间以及提高将效率。
由于CAD/CAM系统的发展，各种自由曲线与自由曲面的理论因应而生，如Bezier曲线、B-Spline曲面、NURBS曲线、扫描曲面(Sweep Surface)、Loft曲面(Loft Surface)、标准曲面(Construct Surface) 、旋转曲面(Revolved Surface) 、网格曲面(Net Surface)等。我们对于一般CAD/CAM系统较常用到的曲线、曲面作以下特点介绍： 1. Bezier 曲线
1962年时法国雷诺(Renault)汽车公司的工程师P.Bezier发展的一种完全用控制点坐标来定义的曲线(如图3)。 Bezier 曲线参数表示式：
图3 不同控制点建构的Bezier曲线
Bezier 曲线有以下的特点：
(1) 控制点多角形(control point polygon) (2) 凸面被覆(convex hull property)
曲线被包含在自由控制点所构成的多角形内，此性质对于处理曲线相交时相当有用。 3) 控制点末点与曲线末点重合(end points meet polygon end points) 缺点：
A. Bezier曲线无法做区域性的控制(no local control)。
B. 其曲线的次数和控制点的数目直接相关，定义比较复杂的曲线形状时，曲线的
次数也跟着提高。 2. NURBS曲线
相较于Bezier曲线而言，NURBS曲线除了保有Bezier曲线的优点外，由于节点向量与加权数的加入，对曲线有更好的控制性，对于区域性的控制也能藉由改变节点向量与加权数而有更好的结果。对于NURBS曲线(non-uniformrational B-spline curve)方程式我们描述如下：
其中Pi：控制点
N(u )：(P-1)阶B-Spline基函数 w：加权数 u：参数值
Ri,p( u ) 为有理基函数(rational basis function)，除了具有和B-从曲面的量测数据中，以最小平方法的观念，结合参数最佳化等spline基函数相同的性质外，更多了加权值的加入。由于加权值的加入，使得控制点对曲线/曲面的控制产生不同比例的影响力，当加权值修改时会使得曲线远离或接近控制多角形(control polygon)，使得曲面的控制有更大的空间。 3. B-spline 曲面
B-spline 曲面乃由U、V参数方向二维的基底函数(basis function)及控制点所组成，基底函数是由多阶参数曲线组合而成，而控制点则在曲面的U、V参数方向上。在拟合B-spline 曲面时，方法获得曲面U、V参数方向的控制点坐标值，以建立B-spline曲面(如下图)。
对B-spline曲面以数学模式方程式表示如下：
图4 空间点
图5 绘图空间
4. Loft曲面(Loft Surface)
Loft曲面的拟合方式则不同于B-spline曲面，首先将其中一个参数方向的测量点数据拟合出最佳化的B-spline曲线，此时每条曲线的控制点数目必须相同。接着在另一个参数方向上用先前所得的曲线控制点，拟合出该参数方向最佳化的B-spline曲线，并得到另一组新的控制点。由此两组先后得到的U、V参数方向点，即可建立Loft曲面。因此Loft曲面的拟合方式是由两组一维的B-spline曲线拟合所组成。
基本上基底函数的阶数、节点向量(knot vector)、控制点的数目或控制点坐标值等的改变，都会影响曲面的形状。因此在拟合曲面时，为了降低曲面偏差量，在使用最佳化方法时，或提高基底函数的阶数，或增加控制点的数目，以调整U、V参数方向的控制点坐标值，最后使得曲面偏差量在容许曲面偏差量的范围内。此种曲面拟合法对于自由曲面造型或有突点等曲率变化比较大的曲面等，都可以拟合出很好的结果。然而对于平滑或有规则性，对称性的曲面，这种曲面拟合法会对产品在加工制造及量测上的误差明显的显现出来，以至于无法拟合出具有上述特性的曲面。 5. 扫描曲面(Sweep Surface)
sweep界曲线所“扫”出来的曲面基本上是由所定义的曲线经由sweeping规则，沿着边曲面，sweeping、rotational sweep及sweeping可规则的分为synchronized sweeping、parallel spine sweeping，以最小平方法的等四种。sweep曲面的拟合是从曲面的测量概念，结合参数最佳化等方法，得出最佳的曲线定义，建立曲面。sweep曲面所涵盖的造型很广，凡是从简单的平面到不同截面所组合而成的曲面等，都能用sweep曲面表示。而工业界在产品的设计上，其外形仅是一般形状简单的曲线或曲面所组成，因此这些曲面大部分都是能表示成sweep曲面。
对sweep曲面所扫描出的轨迹以数学方程式表示为：
其中[T(s)]为sweep transformation设P(t)，C(s)都是B-spline曲面，则：
Q(t,s)为参数值(t,s)在sweep曲面所对应的位置坐标点。A、B分别可为P(t)、C(s)等B-spline曲线的控制点坐标，其数目分别可为(N+1)及(M+1)。N、M则为基底函数(basis function)，而k、l则为基底函数的阶数(order) 。 （三） 曲面的构建
由三维扫描仪所得到的点云数据来建立曲面的方式一般可以分为两种：一种是以近似的方式、另一种是以插补的方式来将顺序的点数据建立成为曲面，以下我们分别就这两种方法