北京市西城区2015 — 2016学年度第二学期期末试卷
高一数学参考答案及评分标准2016.7
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.C； 2.D； 3. C； 4.B； 5. C； 6. C； 7.B； 8.A； 9.B； 10. C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11.{x0?x?1}；12.92,2.8；13.5,10； 14.42；15.
71；16.，1512. 103注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17.（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）设数列{an}的公差为d.
因为a3?a5?a4?7,所以2a1?6d?a1?3d?7.?????3分 因为a1?1,所以3d?6,即d?2, ?????5分
所以an?a1?(n?1)d?2n?1. ?????6分 （Ⅱ）因为a1?1,an?2n?1,所以Sn?由不等式 Sn?3an?2，
得 n2?3(2n?1)?2,?????10分 所以n2?6n?5?0, 解得1?n?5,?????12分 因为n?N*,
所以n的值为2,3,4.?????13分 18.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）在?ABC中，
a1?ann?n2, ?????8分 2ac?，?????3分 sinAsinC所以sinA?asinC， c62?3sin?3.?????5分 14314
所以sinA?高一数学第二学期期末试卷第6页共10页
（Ⅱ）因为S?ABC?1absinC, ?????7分 2所以33?13?6?b， 22解得b?2. ?????9分
又因为c2?a2?b2?2abcosC，?????11分 所以c?4?36?2?2?6?(?)?52， 所以c?213.?????13分
19.（本小题满分13分）
解:（Ⅰ）由题可知,第2组的频数为0.35?100?35人， ?????2分
第3组的频率为
21230?0.300. ?????4分 100所以①处的数据为35,②处的数据为0.300.?????5分
（Ⅱ）因为第3,4,5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组学生人数分别为:
302010?6?3人；第4组:?6?2人；第5组:?6?1人. 606060所以第3,4,5组分别抽取3人,2人,1人. ?????8分
第3组:
（注：第（Ⅰ）（Ⅱ）问仅写出正确答案，没有过程，各扣掉1分）
（Ⅲ）设第3组3位同学为A1,A2,A3,第4组2位同学为B1,B2,第5组1位同学为C1,
则从6位同学中抽两位同学的情况分别为:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),
(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1).
共有15种可能 . ?????10分 其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,C1),(B2,C1), (B1,B2).
共有9种可能. ?????12分
所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为
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93?. 1553.?????13分 520.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当m?1时，
函数f(x)?x2?2x?4在(?2,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数.?????2分 又f(?2)?4，f(1)??5，f(2)??4，
所以，f(x)在区间[?2,2]上的最大值和最小值分别为4和?5.?????4分 （Ⅱ）不等式f(x)??1，即mx2?(1?3m)x?3?0，
当m?0时，解得x?3.?????5分
当m?0时，(x?3)(mx?1)?0的两根为3和?当m?0时，?1，?????6分 m11?3，不等式的解集为{xx??或x?3}. ?????7分 mm13m?1当m?0时，3?(?)?，
mm所以，当m??分
当m??当?111时，??3，不等式的解集为{x??x?3}.?????83mm1时，不等式的解集为?.?????9分 3111?m?0时，3??，不等式的解集为{x3?x??}.??10分 3mm1或x?3}；当m?0时，解集为{xx?3}；当m综上，当m?0时，解集为{xx??1111??m?0时，解集为{x3?x??}；当m??时，解集为?；当m??时，解集333m为{x?1?x?3}. m（Ⅲ）因为m?0，所以f(x)?mx2?(1?3m)x?4是开口向下的抛物线.
抛物线的对称轴为x??1?3m31???1，?????11分 2m22m若存在x0?(1,??)，使得f(x0)?0，则(1?3m)2?16m?0，?????12分
1?m?0. 91综上，m的取值范围是(??,?1 )?(?,0)．?????13分
92即9m?10m?1?0，解得m??1或?
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21.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
5(a1?a5)?5，?????1分 2由a3,a4,a7成等比数列，可得(a1?3d)2?(a1?2d)(a1?6d)，?????2分
由S5?5，可得所以??a1?2d?1,2?2a1d?3d?0,?a1?1,?a1??3,解得?（舍）或??????3分
d?0,d?2.??所以数列{an}的通项公式为an?2n?5.?????4分 （Ⅱ）解2n?5?0可得n?
5， 2所以数列{an}中a1?0，a2?0，其余各项均大于零.?????6分
所以a1?a2?L?a100??a1?a2?a3?L?a100?????7分
??a1?a2??3?1?（Ⅲ）设cn?98(a3?a100) 298(1?195)?9608.?????9分 2an2n?5?， 2n2n2n?52(n?1)?59?2ncn?cn?1???，?????10分
2n2n?12n9n?c?c?0令n，得. n?12所以c1?c2?c3?c4,c4?c5?c6?L?????11分
2n?5c?又由n，知c1?0，c2?0，其余各项均大于零.?????12分 n2n*在tn?(?1)cn中，t1?0，t2m?0（m?2,m?N），且t4?t6?t8?L??13分
337,t6?， 计算得t1?,t4?2166473???,??R}.?????14分 所以，?的取值范围是{?641622.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为Sn?2an?a1，n?N，
所以，Sn?1?2an?1?a1，
所以，当n?2时，Sn?Sn?1?(2an?a1)?(2an?1?a1)，?????2分 整理得an?2an?1， 又an?0，所以
*an?2，数列{an}是公比为2的等比数列，?????3分 an?1所以数列{an}的通项公式an?2n?1.?????4分
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（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{an}是公比为2的等比数列，设其首项为a1.
①若5am为ap,aq的等差中项，则2?5am?ap?aq，?????5分 所以2?5a12m?1?a12p?1?a12q?1，所以2p?m?1?2q?m?1?5，
*p?m?1?1,2q?m?1?4， 又m?p?q，m,p,q?N，所以2所以
p?m?1,q?m?3.?????7分
p?1②若ap为5am,aq的等差中项，则2ap?5am?aq， 所以2a12所以2?5a12m?1?a12q?1，所以2p?5?2m?1?2q?1，
p?m?1?2q?m?5，
等式左边为偶数，右边为奇数，等式不成立. ?????8分 ③若aq为5am,ap的等差中项，则2aq?5am?ap，同理也不成立. 综上，
p?m?1,q?m?3.?????9分
n?1（Ⅲ）由an?a1?2，得tn?rn?a1?2n?1.
所以t100?r100或t100??r，?????10分 100若t100??r，不妨设t100?0,r100?0， 100则T100?t1?t2?L?t99?t100??a1?a1?2?a1?2?L?a1?2?a1?2
298991?299??a1(1?2?2?L?2)?a1?2??a1??a1?299?a1 . ??11分
1?229899则R100?r1?r2?L?r99?r100?a1?a1?2?a1?2?L?a1?2?a1?2
298991?299?a1(1?2?2?L?2)?a1?2?a1??a1?299??a1 . ??12分
1?229899由已知a1?0，所以R100?T100，与已知不符，所以t100?r100. ?????13分 所以R99?T99，同上可得t99?r99. 如此下去，t98?r98，?，t1?r1.
即对于任意的正整数k(1?k?100)，均有tk?rk.?????14分
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