2、lim{lim[coscosx?0n??x2xx?cos]} 2n22解
xxx[coscos?cos]?limlim2n222n??n??2sinxxxxxxcos?cossincossinx2n2?2n2n22??limlimxxxxn??n??2sinn2n?1sinnsinn22 =sinxx 原式=limsinxx?0x?1 三.利用极限存在准则证明下列各题
12.设ann1,a2,?,am为非负数，求证：lim(a?a???an12m)n?n??max{ak}
1?k?m1111证：{（
max{a}nk}n?(annn1?a2???am)n?mn1?k?mmax{ak} limmn?1
1?k?mn??根据两边夹定理，此极限存在，且得证。 3.设x11>0 xn?1=(x12n?x) (n=1,2,…) 证明：limxn存在，并求 nn??limxn?
n??证：?n?N? x11n?1=2(xn?x)?1?2x1n?x?1 ?{xn}有下界 n2nx11?x2nn?1-xn=2?x?0 ?xn?1?xn {xn}单调递减有下界 n则limxn存在。 设a=limxn
n??n??limxn?1?12limxn?11 a=1a?1 a=1(a=-1舍) n??n??2limn??xn22a?limxn=1
n??2第六次作业
六.选做题 1.limx?0(etanx?ex)(1?cos3x)
(tanx?x)ln(1?x)sin2x=limx?0etanx(1?ex?tanx)11?cos3x??
tanx?xxsin2x=2limx?032(x)etanx(x?tanx)12 ??x?tanxx2x=
第七次作业
一.填空题
?x3?x??sin?x,3．函数f(x)???ln(1?x)?sin1,?x2?1?x?0x?094的间断点为 1，0，
-1,-2,……。其解:
0，-1。
因为sin?x?0、x2?1。所以1，-1，-2……为间断点。又因为
x3?x1?x(x2?1)?11lim??lim??，而lim?ln(1?x)?sin2?sin(?1)。左极x?0sin?xx?0?x?0sin?x?x?1限与右极限存在但不相等，所以0也是函数f(x)间断点（第一类间断点）。
x3?xx3?xx(x?1)(x?1)x(x?1)?2， lim?lim?lim?lim?x??1sin?xx??1?sin(?x??)x??1?sin?(x?1)x??1???在-1点，函数f(x)极限存在，所以-1是函数f(x)的第一类间断点。 二.选择题
2、方程x3?9x?1?0实根的个数。
令f(x)?x3?9x?1，对f(x)求一阶导数得f'(x)?3x2?9。由f'(x)=0得
x??3。 f(?3)?63?1?0,
三.计算下列极限 4.lim(sin?cos)x
x??2x1x(sin2111111?cos)x?(2sincos?cos)x?(cos)x(1?2sin)xxxxxxxx1(?2sin2)x1x?2sin2x11?（1?2sin2）x21则lim(sin?cos)x?1?e2?e2 x??xx1(1?2sin)x1(2sin)x1x2sinx1
六.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x,y,恒有
f(x)?f(y)?Lx?y,其中L为正常数，且f(a)f(b)<0,证明至少有一点
??(a,b),使得f(?)=0
证明：
?x0?(a,b).L说明f(x)在(a,b)上连续。L说明f(x)在a点右连续。???0,??????0,?????0,?x?x0??,有f(x)?f(x0)?Lx?x0????0,0?x?a??L,有f(x)?f(x0)?Lx?x0??
同理可证f(x)在b点左连续。得出函数f(x)在[a,b]上连续，又因为f(a)f(b)?0,根据零点定理，至少有一点??(a,b),使得f(?)?0。第八次作业
一. 填空题
ln(1?f(x))f(x)sin2x?5,则? lim2x3x?1x?04.已知limx?0证明：f(x)f(x)x2f(x)lim?lim2?lim2?0?0,则x?0sin2xx?0xsin2xx?0xf(x)f(x)f(x) ln(1?)ln(1?)1sin2x?limsin2x?limsin2x?limf(x)2xlim?5x?0x?0x?0xln3x?0x2sin2x2ln3xln33x?1f(x)?lim2?10ln3x?0x5.求下面两个极限
lim(x?e2x)x?01sinx?lim(1?x?e2x?1)x?0x?e2x?1xxsinxx?e2x?11?limex?01?e2x?1x?e311tan(x2sin)x2sinx?limx?limxsin1?0(?sin1?1)limx?0x?0x?0xxxx
6.
证：
e2x?1limf(x)?lim??2x?0?x?0xlim?f(x)?lim?acosx?x2?a
x?0x?0?a?2
7.已知limx?1x2?ax?b?3,则a= ,b= x?1
x2?ax?bx2?x?(ax?x?a?1)?b?a?1a?b?1lim?lim?limx?a?1??3x?1x?1x?1x?1x?1x?1?a?b?1?0??
a?2?3??a?1,b??2
二. 选择题
3.设f(x)=2x+3x-2,则当x?0时，有（ ）