当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。
3. 通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。
4. 了解球面上的一些基本图形：大圆、小圆、球面角、球面二角形（月形）、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形（简称球极三角形）。
5. 通过球面几何与欧氏平面几何比较，探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上，并说明理由，由此理解球面三角形的全等定理s.s.s，s.a.s，a.s.a。
6. 理解单位球面三角形的面积公式（ ），由此体会球面三角形内角和大于180°。 7. 了解球面三角形全等的a.a.a定理。
8. 利用球面三角形面积公式证明欧拉公式，体验球面几何与拓扑学的关系。
9. 利用向量的叉乘（向量积）探索并证明球面余弦定理（ ）和球面上的勾股定理（即当 时的球面余弦定理），能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理 。
10. 体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。 11. 初步了解另一种非欧几何模型——庞加莱模型。
12. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，说明球面几何与平面几何中哪些公式（定理）是相同的，哪些公式有本质差异；说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可以作为一个平面来对待。（2）通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步思考几何与现实空间的关系。（3）学习球面几何的感受、体会。
说明与建议
1. 本专题的重点是培养学生空间想像和几何直观能力。
2. 教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决（或解释）生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时，让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比，得到球面几何的相关结论，促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。
3. 介绍球面几何与欧拉公式，主要是为了开拓学生的数学视野，使学生了解一些非欧几何模型，对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。
4. 球面几何涉及到大量的空间图形的对称性（变换），在条件允许的学校，教学中可以充分利用（CAI）多媒体技术。
对 称 与 群
对称是自然界一种十分重要的性质，像轴对称、中心对称。群是刻画对称性的数学概念，群论是现代数学的重要研究对象。
学生将从丰富的平面图形对称变换的实例入手，了解变换群的概念，学习群的表达方法，学会求出一
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些比较简单的几何图形的对称群，并进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用。
内容与要求
1. 通过丰富的对称图形，感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。 2. 了解刚体运动的基本性质。
3. 通过分析图形的不同对称性和刚体运动，寻求刻画不同图形对称性的思想，逐步形成图形对称变换的概念。
4. 结合简单的具体图形，找出其所有对称变换。
5. 结合具体的图形实例，逐步形成对称变换合成的概念，理解对称变换合成的封闭性。 6. 结合具体的图形实例，通过操作认识对称变换满足结合律。
7. 结合具体的图形实例，通过操作，理解恒等变换的概念，逆变换的概念及其性质，针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。
8. 通过具体实例，建立变换群的概念，并初步了解抽象群的概念。
9. 能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。 10. 通过具体实例，了解一种群的表示方法——乘法表法。
11. 从具体的实例入手，了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法——直积。 12. 了解群论在现实生活中的重要应用，如晶体分类定理。
13. 考察其他形式的对称变换，如代数式。通过二次、三次方程的求解过程，了解代数方程根的对称群的含义，并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实，感受群论在现代数学中的重大作用。
14. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对对称的数学描述和群的概念的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 由于对称变换、变换的合成（乘法）运算等概念是比较抽象的概念，因此学习过程都应从具体的实例和恰当的情境引入，而不能从抽象的定义出发。
2. 对于中学生来说，群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究，与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用，而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析，学会求出一些简单几何图形的对称群，在操作实践过程中感受群的含义。
3. 晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果，在本单元不能详细证明晶体分类定理
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和方程的伽罗瓦定理，但向学生介绍这两项成果可以使学生感受现代数学的研究方法和特点，因此做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。
欧拉公式与闭曲面分类
使用变换对几何图形进行分类，是几何学的重要内容，揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法。本专题主要讨论欧拉公式和欧拉示性数等重要的拓扑不变量，并利用它们对曲线、曲面进行分类。
内容与要求
1. 复习已学过的变换，并使用它们对平面图形分类
（1）复习平移、旋转、平面运动、反射、全等、位似、伸缩、相似变换，以及对平面图形分类。 （2）在上述变换下，探索什么几何性质是不变的。 （3）体会变换的一些基本特征：1－1对应，连续。 2. 欧拉公式
（1）通过探索发现欧拉公式的过程，理解欧拉公式。 （2）理解欧拉公式的拓扑证明。
（3）使用欧拉公式解决一些问题（如探索正多面体的个数）。 （4）探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。 3. 理解曲面三角剖分的概念。
4. 会对一些曲面进行三角剖分，并能计算它们的欧拉示性数。 5. 了解拓扑变换的直观含义。
6. 知道一些拓扑不变量，并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类，了解一些曲线、闭曲面的分类结果。
7. 了解拓扑思想的一些应用（如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题）。
8. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。本专题整体结构和内容的理解，以及对数学变换思想的认识。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 这部分内容比较抽象，首先要复习中学阶段学过的几何变换以及分析在这些变换下不变的几何性质，并由此体会变换和变换不变量的思想。
2. 引导学生探索发现欧拉公式的过程，以及对欧拉公式证明的理解，帮助学生体会数学家的创造性
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工作，这是一个非常好的范例。
3. 三角剖分是研究图形拓扑性质的重要思想方法，引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程，使学生通过操作和实践学习和掌握三角剖分的思想方法。
4. 拓扑变换是一个非常抽象的概念，应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解，例如，把拓扑变换理解为橡皮变换，不要引导学生追求拓扑变换形式化的定义。
5. 在介绍拓扑学应用时，应注重对拓扑思想方法的介绍，不追求严格化的叙述。 三等分角与数域扩充
三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类的思想史上都具有重大意义。
本专题将通过对三等分角问题的讨论使学生了解解决这类问题的基本思想方法，并能用此方法解决倍方问题和仅用圆规直尺不能作正七边形的问题。另外还介绍用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。通过以上的讨论，使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方法，提高分析和解决数学问题的能力。
内容与要求
1. 了解古希腊三大几何作图问题，通过三等分角问题了解它们的正确提法。在不限于圆规和直尺的前提下，了解三等分角的几种不同作法。
2. 理解解决三等分角问题的基本思路——刻画尺规作图的范围。 3. 给定线段a，b，会用尺规作图方法作出长为 的线段。
4. 对于给定的任何已知线段，若把它作为单位长，则任一（正）有理数是可作图的（即仅用圆规和直尺可作出该有理数长的线段）。
5. 通过有理数对加、减、乘、除运算的封闭性，了解有理数域和一般数域的概念。
6. 设F是一数域， 且 。证明：集合 也是一个数域，且F是集合 的子集合。了解扩域的概念。 7. 给出一些数域、扩域的具体实例。
8. 给定长为a的线段，会用尺规作图方法作出长为 的线段。 9. 学会把三等分角问题代数化。
10. 证明：不能用尺规作图的方法三等分60度角。
11. 用上述方法讨论“倍方问题”或“用圆规和直尺不可能作出正七边形”。 12. 体会解决古希腊三大作图问题的思想方法和它在人们思想认识上的作用。
13. 了解复数乘法的棣莫弗公式，会用代数方法讨论正十七边形是可作图的（即可用尺规作图方法作出正十七边形）。
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14. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：（1）知识的总结。解决三等分角问题的基本思路，清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴涵的数学思想方法。（2）拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考，进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想。（3）学习本专题的感受、体会。
说明与建议
1. 本专题在思想上和证明的论述上的要求都是比较高的。要求学生学会把握解决问题的整体思路，还要求学生在证明时，层次分明，条理清楚。培养学生表达和论述的能力。
2. 在教学过程中，教师应该引导学生对某些问题进行探索。
3. 通过本专题的学习，让学生认识到数学的作用不限于解决问题，在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。
系列4 几何证明选讲
几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力，在几何证明的过程中，不仅是逻辑演绎的程序，它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手，证明一些反映圆与直线关系的重要定理，并通过对圆锥曲线性质的进一步探索，提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。
内容与要求
1. 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证明直角三角形射影定理。 2. 证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。
3. 证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。
4. 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）。
5. 通过观察平面截圆锥面的情境，体会下面定理：
定理 在空间中，取直线 为轴，直线 与 相交于O点，其夹角为α， 围绕 旋转得到以O为顶点， 为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴 交角为β（π与 平行，记住β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆； （2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； （3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
6. 利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明上述定理（1）情况。
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