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人口预测方法的探究
马丹
中国矿业大学理学院，江苏徐州（221008）
E-mail:madan518@126.com
摘 要：对人口数量的准确预测可以制定良好的经济可持续发展战略。本文建立了以 预测模型有效度为优化指标的求解组合优化预测加权系数的模型，并对灰色-神经网络组合 优化预测模型采用简化求解。实例证明该模型是一种行之有效且误差较小的人口预测模型。
关键词：人口预测 灰色-神经网络 预测有效度 加权系数
1．引言
人口预测在经济可持续发展战略中起着重要的作用。传统的人口预测方法主要有Leslie 模型、Logistic模型、灰色预测模型、人工神经网络模型等预测模型。然而影响人口数量 的指标和因素是繁多的，因而人口预测是一个复杂的系统。若采用单个预测模型，或部分因 素和指标对该系统结构及输入和输出进行模拟、预测和调控，仅能包含或体现该系统的局部， 预测结果往往达不到所需要求。如果采用灰色模型和神经网络模型并加以适当的有效组合， 则可以充分地利用各种信息达到提高预测精度的目的。
[1]
[2]
2．灰色-神经网络组合优化模型
GM (1,1) 灰色预测模型是只包含人口变量的一阶微分方程构成的模型，该模型的特点是 所需自变量个数和历史数据样本个数都比较少。
BP 神经网络模型比较符合人口数序列的特点，因而在人口预测工作中应用较为广泛。 该模型以阶段年龄人口数、老龄化指数、平均寿命、出生人口性别比、城乡人口流动、妇女 生育率等[3]作为影响因数，以人口数量作为输出值。 基于以上两种预测模型及其求解方法，在此基础上建立了两者的组合优化预测模型及其 求解方法。
2.1 预测模型有效度的定义
设 xt ?t ? 1, 2,..., N ? 为 t 时刻的实际观测值，Y1t ,Y2t (t ? 1, 2,..., N ) 分别为 GM (1,1) 灰色 模型、BP 神经网络模型在 t 时刻的预测值，A1t , A2t (t ? 1, 2, ..., N ) 为Y1t ,Y2t 在 t 时刻的预测 精度，则：
Ait ? 1 ? ? xt ? Yit ? / xt
(i ? 1, 2.t ? 1, 2,..., N )
(1)
由 Ait 构成预测值 Ait 的序列，该序列的均值与均方差分别为：
1 N
E ? Ait ? ????Ait
N t ?1
? 1 N ??? 1 N ?
2 ? ? A? ? ??A ??A ????it ? it
N t ?1 ? N t ?1
2
(2)
?
1/ 2
?
?
(3)
1
??
it
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????
2
?
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?
则预测值 Ai 的有效度指标定义为：
Si ? E ? Ait ? ? ? ? Ait
?1 ?(4)
??
以预测模型有效度为指标建立求解组合优化预测加权系数 k 的优化模型。
2.2 组合预测优化模型的建立
设 k1, 则Yt ? k1Yt 时刻的 k2 为两种预测模型的加权系数，1t ? k2Y2t 为组合优化模型在
预测值； At 为组合优化模型在 t 时刻的预测精度，则由式 (1) 得：
xt ? Yt x? kY? kY
At ? 1 ??? 1 ??t 11t 22t
xt xt
由式 (4) 可知，该组合预测的有效度指标为：
(t ? 1, 2,..., N ) (5)
S ? E ? At ? ? ? ? At
?1 ?(6)
??
因此 S 越大，说明该组合预测方法越有效，则以式 (6) 为目标函数，考虑加权系数的规范性 约束，可以得到如下的优化模型：
?
?
? ?? 1 N 2 Ait ?
max S ? S ? E ? A ? 1?? ? At ?? 1 ?k 1 ? ? ? t ?i ?N????? xt ?t ?1 i ?1 ????
??1/ 2
2 2 ?
2 ??1 ? N 2 A ?? ??? 1 N ?A ?
??
? it ? ? 1 ? ???1 ? k?1 ? ?ki ? ?? i 2 ??????it ????xt ?xt N ???? ?? t ?1 ?? N t ?1 ??? ????i ?1 ?i ?1 ??式 (7) 中
(7)
ki ? 1, ? i?1
2
ki ? 0
2.3 模型的近似最优解
在只有 GM (1,1) 灰色模型和 BP 神经网络组合模型的情况下，令 k ? k1 ，则 k2 ? 1 ? k 。
3
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通过数学分析，可知 A、
E ? At ? 、? ? At ? 与组合权系数 k 之间存在如下几个近似关系： t
①组合预测精度 At 与组合权系数 k 的近似关系：
4
At ? kA1t ? ?1 ? k ? A2t
(8)
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②组合预测精度序列均值 E ? At ? 与权系数 k 的近似关系：
E ? At ? ? kE ? A1t ? ? ?1 ? k ? E ? A2t ??
(9)
③组合预测精度序列均方差? ? At ? 与权系数的近似关系为：
?? ? ? At ? ? ?min
? ? A1t ? ? ? min
1 ? k0
k ? k0 ? ? ? ?
? ? A1t ? ? ? min
?
?
2
? cov ? A1t , A2t ??? A1 t ? ??k 0 ?
? 2 ? A1 t ? ? ? 2 ? A2 t ? ? 2 cov ? A1t , A2t ??
1 ? k0
k ? ? min ? ? ? A1t ? k0
1 ? k0
(10)
(11)
?
式 (11) 中 cov ? A1t , A2t ? 为序列 A1t、A2t 的协方差：
? A1t ? ? ?1 ? k0 ? ? ? k ??? min
?
?
?
2 2 0
2
??2 ? A
1/ 2??? 2k0 ?1 ? k0 ? cov ? A1t , A2t ?2t ? ??
?
(12)
将式 (9), (10) 代入优化模型 (7) 中得到求解权系数近似解的简化模型为：
?
? ? ? A1t ? ? ? min ? min ? ? ? A1t ? k0 ???
max S ? ?E ? A1t? ? ? / k ? E ? A2t??? ? 1 ? k ? ???? 1 ? k 1 ? k?00 ??
dS
式中： k0 ? k ? 1 ，令 ? 0 ，使 S达到最大值的最优解为：
dk
?
(13)
???1 ? ? min ? ? ??1 ? ? ? A1t ??? 1 ?k ??k0 2 ??
? ? A1t ? ? ? min
? E ? A2t ??
(14)
? ??
??
E ? A1t ? ? E ? A2t ? ???
当由式 (14) 确定的 k 值不在?k0 ,1? 之间时，应对其进行修正，设?1 、? 2 分别为预测值
A1t、A2t 与实际值的均方差，则有：
k ? k修正 ? ? 2 / ??1 ? ? 2 ??
5
(15)