《概率论》计算与证明题 37
（2）有利场合是，先从n双中取出一双，其两只全取出，再从剩下的n?1双中取出2r?2双，从鞭每双中取出一只。
P?CnC2Cn?1(C2)122r?212r?2/C2n?n22r2r?2Cn?1/C2n.
2r?22r?42r（3）P?22r?4Cn2Cn2?r2/C2n.
（4）P?Cnr(C22)r/C22nr?Cnr/C22nr.
14、解：（1）P{任意取出两球，号码为1，2}=1/Cn2.
（2）任取3个球无号码1，有利场合是从除去1号球外的n?1个球中任取3个球的组合数，故
33P{任取3球，无号码1}?Cn/Cn. ?155（3）P{任取5球，号码1,2,3中至少出现1个}=1?P{任取5球，号码1,2,3不出现}?1?Cn/Cn. ?3其中任取5球无号码1,2,3，有利场合是从除去1,2,3号球外的n?3个球中任取5个球的组合数。
15、解：（1）有利场合是，前k?1次从N?1个号中（除1号外）抽了，第k次取到1号球， P?(N?1)k?1?1/Nk?(N?1)k?1/N
kk?1k（2）考虑前k次摸球的情况，P?AN?1?1/AN?1/N。
16、解法一：设A={甲掷出正面数>乙掷出正面数}，B={甲掷出反面数>乙掷出反面数}。考虑A={={甲
掷出正面数?乙掷出正面数}。设A发生。若乙掷出n次正面，则甲至多掷出n次正面，也就是说乙掷出0次反面，甲至少掷出1次反面，从而甲掷出反面数>乙掷出反面数。若乙掷出n?1次正面，则甲至多掷出n?1次正面，也就是说乙掷出1次反面，甲至少掷出2次反面，从而也有甲掷出反面数>乙掷出反面数，等等。由此可得
A?{甲掷出正面数?乙掷出正面数}?{甲掷出反面数?乙掷出反面数}?B.
?P(A)?P(B)?P(A)?P(A)?1
显然A与B是等可能的，因为每人各自掷出正面与反面的可能性相同，所以P(A)?P(B),从
12而P(A)?。
01解法二：甲掷出n?1个硬币共有2n?1个等可能场合，其中有Cn?1个出现0次正面，有Cn?1个出现
n?101次正面，?，Cn?1个出现n?1次正面。乙掷n个硬币共有2n个等可能场合，其中有Cn个出现0
1n次正面，Cn个出现1次正面，?，Cn个出现n次正面。若甲掷n?1个硬币，乙掷n个硬币，则共
有n1?2n?1?20n?222n?1种等可能场合，其中甲掷出正面比乙掷出正面多的有利场合数有
013012m1?Cn?1Cn?Cn?1(Cn?Cn)?Cn?1(Cn?Cn?Cn)??
1 《概率论》计算与证明题 38
?Cn?1(Cn?Cn???Cnrrn01n?1)?Cn?1(Cn?Cn???Cn)
n?101n利用公式
01Cn?1?Cn?Cn01r?1及
Cn?1?Cn01n?1n得
23012m1?(Cn?Cn)Cn?(Cn?Cn)(Cn?Cn)?(Cn?Cn)(Cn?Cn?Cn)???(Cnn?12
?Cn)(Cn?Cn???Cnn01n?1)?Cn(Cn?Cn???Cn)n01n
?12?2202101021?1021??(Cn)?CCn??(Cn)?CCn?Cn?Cn???(Cn)?CnCn?Cn?Cn??i?2i?3????
???n?12?n2n?11n1?n1?????(Cn)?Cn?Cn?Cn?Cn???(Cn)?Cn?Cn?1?n?1i?ni?n????+
n??i?0?n12111?(Cn)?2?CnCn???Cn?n?j?i?0?i?0?
2n2所以欲求的概率为 P?m1/n1?2/22n?1?12.
应注意，甲掷出0,1,?,n?1个正面的n?2个场合不是等可能的。
17、解：事件“一颗投4次至少得到一个六点”的对立事件为“一颗投4次没有一个六点”，后者有有
利场合为，除去六点外的剩下五个点允许重复地排在四个位置上和排列数，故，
P{一颗投4次至少得到一个六点}=1?{一颗投4次没有一个六点}=1?54/64?0.5177. 投两颗骰子共有36种可能结果，除双六（6，6）点外，还有35种结果，故
P{两颗投24次至少得到一个双六}=1?{两颗投24次没有一个双六}=1?35比较知，前者机会较大。
53321318、解：P?C13C13C13C13/C52?0.0129
24/3624?0.4914.
19、解：P?C4C4C43C39C26C13CCCC1352133913261313149131313?4?C43C13529?0.0106.
4913或解为，4张A集中在特定一个手中的概率为C4C48/C52，所以4张A集中在一个人手中的概率
913为 P?4?C48/C52?0.0106.
520、解：（1）P?4/C52?0.0000015. 这里设A只打大头，若认为可打两头AKQJ10及A2345，则答
案有变，下同。
（2）取出的一张可民由K，Q，?，6八个数中之一打头，所以
P?C4C8/C52?0.0000123.
115 《概率论》计算与证明题 39
（3）取出的四张同点牌为13个点中的某一点，再从剩下48张牌中取出1张，所以
P?C13C4/C52?0.00024.
145（4）取出的3张同点占有13个点中一个点，接着取出的两张同点占有其余12个点中的一个点，
13125所以 P?C13C4C12C4/C52?0.0014.4
(5)5张同花可以是四种花中任一种，在同一种花中，5张牌占有13个点中5个点，所以
P?C4C13/C52?0.00198.
155(6){异花顺次五张牌}={顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}。顺次五张牌分别以A，K，?，6九个数中之一打头，每张可以有四种不同的花；而同花顺次中花色只能是四种花中一种。所以
115115p = P{顺次五张牌}－{同花顺次五张牌}??C9(C4)?C4C9?/C52?0.0000294.
（7）三张同点牌占有13个点中一个占有剩下12个点中两个点，所以
P?C13C4C12(C4)/C52?0.0211.
132125（8）P{五张中有两对}=P{五张中两对不同点}+P{五张中两对同点}
22211514115C4C4C11C4/C52?C13C4C12C4/C52?0.0475. ?C12123135 （9）p?C13C4C12(C4)/C52?0.423.
（10）若记（i）事件为Ai，则A1?A5,A2?A5,A3?A8,A4?A9而事件A5,?,A9两两不
?9?A相容，所以p?1?P???i???1??i?5?9?P(Ai?5i)?0.506.
y 21、解：设x，y分别为此二船到达码头的时间，则 24 F E 0?x?24,0?y?24. 两船到达码头的时间与由上述
条件决定的正方形内的点是一一对应的（如图）
设A表事件“一船要等待空出码头”，则Ａ发生意味 ４ 着同时满足下列两不等式 x?y?3,y?x?4 Ｃ０ ３ 24
由几何概率得，事件Ａ的概率，等于正方形ＣＤＥＦ中直线x?y?3及y?x?4 之间的部分面积，与正方形CDEF的面积之比，即
?2?1122??2PA??24???20??21??/24?311/1152?0.27
2?2???
22、解：设x，y分别为此二人到达时间，则 y F N E 7?x?8,7?y?8。显然，此二人到达时间 8 (x,y)与由上述条件决定的正方形CDEF内和 M H 点是一一对应的(如图)。 7 D 设A表事件“其中一人必须等另外一人的 C G
《概率论》计算与证明题 40
时间1/2小时以上“，则A发生意味着满足如下 0 7 8 x 不等式 x?y?12或y?x?12。由几何概率得，
事件A的概率等于ΔGDH及ΔFMN的面积之和与正方形CDEF的面积之比，所以
P(A)?111111(???)/(1?1)? 222224
23、证：当n?2时，A1?A2?A1?(A2?A1A2)，A1与A2?A1A2两者不相容，所以
P(A1?A2)?P(A2?A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2).
此即当n?2时原式成立。
设对n?1原式成立，现证对n原式也成立。
P(A1???An?1?An)?P{A1???An?1?An}
?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1???An?1?An} ?P(A1???An?1)?P(An)?P{A1An?A2An???An?1An}
对前后两项分别应用归纳假设得
P(A1???An?1?n?1?n?2P(A1?An?1)??P(An) ?An)???P(Ai)??P(AiAj)???(?1)n?1?j?i?1?n?1??n?1???P(AiAn)??i?1n?n?1?j?i?1P(AiAnAjAn)???(?1)n?2?P(AiAnAjAn?An?1An)????P(Ai?1i)??n?j?i?1P(AiAj)???(?1)n?1P(A1A2?An).
至此，原式得证。
24、解：设考签编号为1,2,?,N，记事件Ai?{第x号考签未被抽到nn}，则
nP(Ai)?(N?1)/N， P(AiAj)?(N?2)/N(i?j),??， P(A1A2?AN)?(N?N)/Nnnn?0；
诸Ai相容，利用第33题公式计算得
P={至少有一张考签未被抽到}?P{A1?A2???AN}
N??P(Ai?1i)??P(AN?j?i?1iAj)???(?1)N?1P(A1A2?AN)
《概率论》计算与证明题 41
?C1N(N?1)Nnn?C2N(n?2)Nnnn???(?1)N?2CNN?11Nn?0
N?1??(?1)i?1i?1C1N(N?i)Nn.
25、解：这些比赛的可能结果，可以用下面方法表示：
aa,acc,acbb,acbaa,acbacc,acbacbb,?bb,bcc,bcaa,bcabb,bcabcc,bcabcaa,?
其中a表甲胜，b表乙胜，c表丙胜。
在这些结果中，恰巧包含k个字母的事件发生的概率应为发生的概率为1/16等等。则
p(c)??P(acc)?P(bcc)???P(acbacc)?P(bcabcc)????2?12312k，如aa发生的概率为1/4，acbb
?2?126?2?129???27.
由于甲，乙两人所处的地位是对称的，所以p(a)?p(b)，得
p(a)?p(b)?12(1?27)?514.
26、解：P(AB)?P(A?B)?P(A?B?B)?P(A?B)?P(B)?r?q
P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?r.
27、证：设BC?C1,C(A?B)?C2.由C?AB可得，C?A?B，
∴C?C1?C2，C1?C2?? （1）
又C?AB∴AC1?A(BC)?AB 再由P(B)?P(C1)得
P(AC1)?P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(C1)
（2）
由C2?A并利用P(A)?1得
P(AC2)?P(C2)?P(A)P(C2) （3）
由（1），（2），（3）可得
P(AC)?P?A(C1?C2)??P(AC1?AC2)?P(AC1)?P(AC2)?P(A)P(C1)?P(A)P(C2)?P(A)?P(C1)?P(C2)??P(A)P(C)
28、证：（1）A?A1A2，由单调性及P(A1?A2)?1得