《概率论》计算与证明题 42
P(A)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?1.
（2）A?A1A2A3，两次利用（1）的结果得
P(A)?P((A1A2)A3)?P(A3)?P(A1A2)?1
?P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A3)?2
.
29、证：设袋中有A个球，其中a个是白球，不还原随机取出，第k次才首次取得白球的概率为
Pk?AA?aAaAAkk?11?a(A?a)(A?a?1)?(A?a?k?2)A(A?1)(A?2)?(A?k?1) (k?1,2,?,A?a?1).
因为袋中有a个白球，A?a个黑球，若一开始总是取到黑球，直到把黑球取完为止，则至迟到第A?a?1次一定会取到白球；也就是说，第一次或第二次?或至迟到第A?a?1次取得白球事件是必然事件，其概率为1。所以
1?p1?p2???pA?a?1?AaaA?a(A?a)A(A?1)???a(A?a)?2?1A(A?1)?(a?1)a
等式两边同乘以得
A?aA?1(A?a)(A?a?1)(A?1)(A?2)(A?a)?2?1(A?1)?(a?1)aAa1??????.
30、证：记F={?的一切子集}
（i）?是?的子集，所以??F。
(ii) 若A?F，则A是?的子集，??A也是?的子集，所以A???A?F。
(iii)Ai(i?1,2,?)?F，当然有??Ai,i?1,2,?。任一????，从而????Aii。必有某一Ai，使??Ai，所以。
?iAii，即?iAi也是?的一个子集，故?iAiii?F∴F是??域。
?域，记F?31、证：设Ft(t?T)是??Ft?Tt.
(i) ??每一Ft，所以???t?TFt，即??F.
?(ii) A?F，则A?每一Ft，由Ft是?域得A?每一Ft，所以At?T??Ft，从而A?F.
(iii) Ai(i?1,2,?)?F，则诸At必属于每一Ft，由于Ft是??域，所以?iAi?每一Ft，即
?Aii??Ft?Ft?T.
《概率论》计算与证明题 43
∴f是?
?域。
32、解： 由于点落入正方形是等可能的，此属几何概型S??a2,事件A={点落于两条对角线上了的测
度SA?0, 故P(A)=
SAS??0
33、解: 由于此时样本点总数是90 ,有利场合数是32 ∴所求概率P?434、解：记 A?{选取的样品至少配成一双}，由于样品总数是C10
1645
?A的有利场合数是C5C2C8?p(A)?1?P(A) P(A)?1411821?13?210.6 1 9
35、解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法. 其中有（4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7）种能成4位偶数. 故所求概率P?
36、解：以X,Y分别表示两人到达的时刻,
则(X,Y)可能取值范围是G??(X,Y):0?X?60,0?Y?60? 则两人能会面的范围g??(X,Y):|X?Y|?20,X?0,Y?0? 故能会面的概率P=
?10?37、解：从10个电阻中取三个电阻的取法有??种取法
?3?4?9?8?7?4?8?7?9?8?710?9?8?7?4190
g的面积G的面积?60?4060222?59
?4??1??5??4??1??5??10?1满足要求的取法有 ??????种取法 ， 故所求概率 P???????/???
?1??1??1??3?6?1??1??1?
38、解：设 二船到达的时刻为x,y，则 x,y一切可能取值
G??(x,y):0?x?24;0?y?24? (得2分)
所求值：g?{(x,y)?G,y?x?1,x?y?2
所求概率 p=
g的面积G的面积?0.121
《概率论》计算与证明题 44
39、解：设x及y为所取的正的真分数，则???(x,y);0?x?1,0?y?1?;
1??A??(x,y);xy?,0?x?1,0?y?1?，故P(A)?4??14??11414xdx?141?14ln4?0.597
40、解：设此二数为x,y,则??{(x,y);0?x?1,0?y?1} A?{(x,y):x?12y?1.2,?0x? 1?,0y?1??0.8?0.81?0.68
故P(A)?在区间(0,1)中随机取两数，求两数之和小于1.2的概率。
41、解：P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(?)?P(AC)?P(BC)?P(?) ?P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?P(BC)
42、解：（1）记事件A={订阅A报}， B={订阅B报}，则{只订阅A报}可表示为A?B?A?AB。因
AB?A，故P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?0.45?0.1?0.35。
（2）{只订1种报}=(A?B)?(B?A)?AB?BA，要把A?B,B?A分别表示为A?AB，
B?AB。又这2个事件是互不相容的，由概率加法公式，有
p?P(A?AB)?P(B?AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB) ?0.45?0.1?0.35?0.1?0.6
43、解：（1）三位数总的排法是A5种。排得偶数要求末位数是偶数，即2或4，余下的4个数任取2个
排列。因此，排得偶数的情况种数是2A种，故p1?3A4A5322432A4A352?2?4?35?4?3?0.4。
（2）同（1）作类似的分析，知p2??3?4?35?4?3?0.6。
注：此题也可以这样分析：{所得三位数是偶数}={三位数末位数是偶数}，又{所得三位数是奇数}={三位数末位数是奇数}。从而p1?
44、解：因第1个数字不能为0，故6位电话号码的数字情况总数N?9?10个，其中完全由不同数字
525?0.4,p2?35?0.6
《概率论》计算与证明题 45
组成的情况数为M?9?9?8?7?6?5?136080（个）。所以p?
136080900000?0.1512。
45、解：（1）从8个球中任取2个的取法总数为C82?28种。取得的2个球为同色，分为两种情况：2
个球皆为白色或2个球皆为黑色。这两种情况各有C52,C32种，故取得2个球同色的情况数为
C5?C3?13种，所以p1?221328?0.4643。
此题也可以这样解：A1?{取得的2个球皆为白色}，A2?{取得的2个球皆为黑色}，A?{取得的2个同色}。A1,A2互不相容，且A?A1?A2，而P(A1)?故
p1?P(A)?1028?328?1328?0.4643
C5C228?1028,P(A2)?C3C228?328，
（2）令A?{取得的2个球至少有1个白球}，则A?{取得的2个球皆为黑球}，故
p2?P(A)?1?P(A)?1?C3C822?1?328?2528?0.8929
46、证：P(AB)?P(AC)-P(BC)?p(AB?AC)?P(ABC)?P(BC)
?P(A)?P(BC)?P(BC)?P(A)
47、证：一维波雷尔?区间类产生的??域B?m?[a,b)?是由左闭右开区间灶产生的??域，B?M?(??,x)?是由形如(??,x)~?域。
因为 [a,b)?(??,b)?(??,a)
等式左边是B中两个集的差，由此知B包含一切形如[a,b)的集，而B是由一切形如[a,b)的集类产生的?~?域，所以B?B~~。
?又由于
(??,x)??n?1[x?n,x?n?1)，
~?B等式右边是B中集的可列并，由此知B包含一切形如(??,x)的集，与上段同理得B∴B
~?B.
.