专题七 选修4系列 第1讲 坐标系与参数方程
1．(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数
1
x＝1＋t，
2
?方程为?3
?y＝2t
??x＝cos θ，
(t为参数)，椭圆C的参数方程为?(θ
??y＝2sin θ
为参数)，设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长度．
y2
解：椭圆C的普通方程为x＋＝1，
4
2
1x＝1＋t，22y
将直线l的参数方程代入x2＋＝1，
43
y＝t
2
???
?1?2得?1＋2t?＋??
?3?
?t??2?
2
4
＝1，即7t2＋16t＝0， 16， 7
解之得t1＝0，t2＝－
16
∴线段AB的长|AB|＝|t1－t2|＝.
7
?π?
2．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin?θ＋4?＝1，
???π?
圆C的圆心的极坐标是C?1，4?，圆的半径为1.
??
(1)求圆C的极坐标方程； (2)求直线l被圆C所截得的弦长．
解：(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一ππ
个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
44
?π??π?
OA＝ODcos?4－θ?或OA＝ODcos?θ－4?，
?
?
?
?
?π?
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos?θ－4?.
?
?
?π?2??(2)由ρsinθ＋4＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
2??
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
?22??又圆心C的直角坐标为，?满足直线l的方程，
2??2
∴直线l过圆C的圆心，
故直线被圆所截得的弦长为直径2.
3
t，2
3．(2016·长沙雅礼中学调研)已知直线l：(t为参
1
y＝3＋t2
???
x＝5＋
数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(导学号 55460152)
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
3t，2
(2)将(t为参数)代入②式，
1
y＝3＋t
2
???
x＝5＋
得t2＋53＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
4．(2016·湖北七市联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参
??x＝sin α＋cos α，数方程为?(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的
??y＝1＋sin 2α?π?
?正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋4?＝2，???3π?
?曲线C2的极坐标方程为ρ＝22acosθ－4?(a>0)．(导学号 55460153) ??
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)； (2)若直线l与C2相切，求a的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－2，2]，直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
?y＝x2，?x＝1，?x＝－2，
联立?解得?或?(舍去)，
?x＋y＝2，?y＝1?y＝4
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为
?π?
?2，?.
4??
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，即(x＋a)2
＋(y－a)2＝2a2(a>0)．
|－a＋a－2|
由直线l与C2相切，得＝2a，故a＝1.
2
5．(2016·佛山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：
??x＝6cos φ，?(φ为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，??y＝2sin φ
建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．
(导学号 55460154)
(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；
(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P，若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．
解：(1)曲线C1化为ρcos θ＋3ρsin θ＝3，
?π?3
∴ρsin?θ＋6?＝.
2??
x2y2
曲线C2化为＋＝1.(*)
62
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式，
ρ22ρ22
得cosθ＋sinθ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6， 626∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝. 2
1＋2sinθ
2
?31?
(2)∵M(3，0)，N(0，1)，所以P?，?，
2??2
π
∴OP的极坐标方程为θ＝，
6
?π??π?π3
把θ＝代入ρsin?θ＋6?＝得ρ1＝1，P?1，6?.
62????
?π?π62
把θ＝代入ρ＝得ρ2＝2，Q?2，6?. 26??1＋2sinθ
∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.
6．(2016·广州调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)．
(导学号 55460155)
(1)求曲线C的直角坐标方程；
??x＝3t＋3，(2)在曲线C上求一点D，使它到直线l：?(t为参
??y＝－3t＋2
数，t∈R)的距离最短，并求出点D的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ，θ∈[0，2π)，可得ρ2＝2ρsin θ. ∵ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
∴曲线C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
?x＝3t＋3，
(2)∵直线l的参数方程为?(t为参数，t∈R)，
?y＝－3t＋2
t得直线l的普通方程为y＝－3x＋5.
∵曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆，设点D(x0，y0)，且点D到直线l：y＝－3x＋5的距离最短，
曲线C在点D处的切线与直线l：y＝－3x＋5平行， 即直线CD与l的斜率的乘积等于－1， y0－1即×(－3)＝－1.①
x0
2
∵x20＋(y0－1)＝1，②
33由①②解得x0＝－或x0＝，
22
?31??33?
∴点D的直角坐标为?－，?或?，?.
22??22??
由于点D到直线y＝－3x＋5的距离最短，
?33?
∴点D的直角坐标为?，?.
2??2