2.将函数f?z??z?1z2?z?1?在z?0处展开为洛朗级数。（10分）
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华南农业大学期末考试试卷答案（ A卷）
2012学年第2学期 考试科目： 复变函数与积分变换 一、 单项选择题( 2*10=20分) BDBAB ABAAB 二、判断题( 2*5=10分) ×××√×
三、填空题（2*5=10分）
33??2k???2k?8441、8(cos?isin),k?0,1,2,3.；
4412、；
e3、2?i； 4、3；
a5、2； 2s?a四、计算题（本大题共5小题，共39分）要求写清楚详细解题过程。 1．讨论函数f(z)?z z2的可导性，解析性，如果可导（解析），求出f?(z).（6分）
解 设z?x?iy，则f(z)?(x?iy)(x?iy)2?(x3?xy2)?i(x2y?y3).…………1分 所以，u(x,y)?x3?xy2,v(x,y)?x2y?y3,………………………………………2分
??u22?u?3x?y,?2xy,??x?y?则，?…………………………………………………3分
??v?2xy, ?v?x2?3y2;??y??x当且仅当 x?y?0时，
?u?v?u?v?????0,………………………………4分 ?x?y?y?x当x?0,y?0时，
?u?v?u?v?,??, ?x?y?y?x由函数解析的充要条件可知，函数f(z)仅在z?0处可导，在复平面上的其它点均不可导。 当z?0，f?(0)?
?u?v?i?0.……………………………………………………6分 ?x?x复变函数与积分变换 第 - 7 - 页 共 6页 7
z5?z?12．设C是不通过z0?i的简单闭曲线，求f(i)??dz.（6分）
C(z?i)3解 若i在C外，则f(i)?0，…………………………………………2分 若i在C内，由Cauchy高阶导数公式，
z5?z?12?i5f(i)??dz??(z?z?1)''?20?.……………………………4分
z?iC(z?i)32!(3?5i)3. 判断级数?是否收敛，是否绝对收敛？（6分）
n!n?0?n(3?5i)n34解 因为?,……………………………………………………2分
n!n!(34)n?1?34(34)n(n?1)!对于级数?，由比值判别法lim?lim?0?1,………4分 nn??n??n?1n!(34)n?1n!(3?5i)所以级数?绝对收敛.………………………………………………6分
n!n?1
4、计算积分?1dz. （7分） 5z?(z?3)(z5?1)2?n解 在圆周z?5内的奇点只有使方程z5?1?0的五个根zk(k?0,1,2,3,4)， 2由留数定理，有
41Res[f(z),zk].………………………………2分 ?z?52(z?3)(z5?1)dz?2?i?k?04又，?Res[f(z),zk]??{Res[f(z),3]?Res[f(z),?]}.……………………3分
k?0z?3是f(z)的一级极点，有
Res[f(z),3]?lim(z?3)?z?311?.………………………………4分
(z?3)(z5?1)242由f(z)在3?z???内的洛朗展式，
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111113?????(1??(z?3)(z5?1)z61?31?1z6zzz5)(1?1?z5),
显然，C?1?0.故，Res[f(z),?]?0. 故，…………………………………5分
?5z?211?idz??2?i(?0)??.………………………………7分 5(z?3)(z?1)2421211 在 z0?0处展开成泰勒级数，并指出其收敛域.（7分）2(1?z)11?()'，……………………………………2分
(1?z)21?z5. 将函数 f(z)?解 因为函数f(z)???1由于， ??zn?1?z?2z?1?zn?04分 , z?……………………………………1????1n所以， ?(?z)'??nzn?1, z?1.……………………………………7分 2(1?z)n?0n?1
6.指出函数在扩充复平面上f(z)?留数。（7分）
解 可以看出z?0是f(z)的二级极点，z??因为
lim3z?2?0,故z??是可去奇点。…………………………………………3分
z??z2(2z?1)1是f(z)的一级极点。……2分 23z?2的孤立奇点及其类型，并求奇点处的
z2(2z?1)11 所以， Res[f(z),?]?lim(z?)f(z)?1.…………………………………4分
2z??122Res[f(z),0]?1dlim[z2f(z)]??1.……………………………………6分 (2?1)!z?0dz1Res[f(z),?]??(Res[f(z),0]?Res[f(z,?)])?0.…………………………7分
2
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五、综合应用题（2小题，共21分）要求写清楚详细解题过程。
1．验证函数u(x,y)?ex(xcosy?ysiny)为调和函数，并求出解析函数f(z)，f(z)以u(x,y)为实部，且f(0)?0.（11分） 解 因为
?u?ex(xcoys?y?xsyin?ex)?uycos?e,x(?xsiny?sin ys),y?yco?y?2u?2uxx?e(xcosy?2cosy?ysiny), ?e(?xcosy?2cosy?ysiny), 22?x?y?2u?2u 故， 2?2?0,所以u(x,y)为调和函数。…………………………3分
?x?y由于f(z)是解析函数，因此u,v满足C?R方程，
?v?u????ex(?xsiny?siny?ycosy),?x?y即，……………………………………5分
?v?u??ex(xcosy?ysiny)?excosy,?y?x则
v(x,y)??x0?u?udx?dy?C(0,0)?y?x(xy,)?…………………………9分
??0dx??[ex(xcosy?ysiny)?excosy]dy?C0y?exxsiny?exycosy?C.
故，f(z)?ex(xcosy?ysiny)?iex(xsiny?ycosy)?iC.
又 f(0)?0知C?0。…………………………………………………………10分
x故 f(z)?e(xcos?yysin?yx)ie(xs?inyz……………………11分 yc?oysze
2.将函数f?z??z?1在z?0处展开为洛朗级数。（10分）
z2?z?1??????????f(z)有两个奇点z?0,1，…………………1分 2zzz?1解 因为f?z???故整个复平面可分成两个部分： 0?z?1;和1?z???.……………………2分 （i）当0?z?1时，
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???????f?z???2??2??2??2?zn.………………………………6分
zz1?zzzn?1（ii）当1?z???时，
??2???2??1f?z???2????2???n1zzz1?zzzn?1z………………………………10分 z?122z2?z3?z4?.
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