去找 http://www.7zhao.net 习题6.1 1. 解：
（1）、全函数 （2）、不符合单值 （3）、全函数 2.解：
(1) {(n1,n2)|n1, n2 ?N, 0<2 n1-n2<5}
不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。 (2) {(n1,n2)|n1, n2 ?N, n2是n1的正因子个数}
部分函数，n1=0时无定义
(3) {(S1,S2)|S1, S2 ?{a,b,c,d}且 S1 ? S2= ?}
不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。 (4) {(a, b)|a, b ?N, gcd(a,b)=3}
不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。 (5) {(x, y)|x, y ?Z, y=x2}
全函数
4、解:
可以定义n个二元关系，n！个全函数 5.解：
(fog)(x) = 2 x2+2x-2
(gofoh)(x) = (g(f(h(x))) = … = 4(x-2)2+2(x-2)-1 (hohog)(x) = (h(h(g(x))) = … = x2+x-5
n
去找 http://www.7zhao.net 6.解：
（1）∵f=g，则对于所有x?A，都有f(x)=g(x),
所以，对于所有的x?A，h(f(x))=h(g(x)),f(h(x))=g(h(x))
即h。f=h。g
（2）∵h。f=h。g则，h(f(x))=h(g(x)),
当对于A中任意两个不同的元素x,y都有h(x)≠h(y)时，f=g； 当A中存在两个不同的元素x,y有h(x)=h(y)，即对于同一个
元素z,当f(z)=x ,g(z)=y，则有h(f(z))=h(g(z))，而此种情况下f≠g
综上，当h。f=h。g时，f不一定等于g 7.
证明：b?f(A)-f(C)?b?f(A)?b?f(C) ?(?x)[x?A?x?C?f(x)=b] ?(?x)[x?A-C?f(x)=b] ?b?f(A-C) 所以f(A)-f(C)?f(A-C) 8.证明：
（1）y∈f(A∪B)
?(?x)[x∈(A∪B)∧f(x)=y]
?(?x)[x∈A∧f(x)=y]∪(?x)[x∈∪B∧f(x)=y] ?y∈f(A)∪y∈f(B)
去找 http://www.7zhao.net ∴f(A∪B)=f(A)∪f(B) （2）y∈f(A∩B)
?(?x)[x∈(A∩B)∧f(x)=y]
?(?x)[x∈A∧f(x)=y]∩(?x)[x∈B∧f(x)=y] ?y∈f(A)∩y∈f(B) ∴f(A∩B)?f(A)∩f(B) 习题6.2 1.解：
确定下列映射是否单射、满射或双射： (1)f:N →R, f(n)=ln n 单射
(2)f:N →N, f(n)为不超过n的素数数目 满，非单。如f(5)=f(6)=3
(3) f:N ?N →N, f(n1,n2)=(n1+1) n2
非单,非满。f(0,1)=f(1,0)=1,且f(x,y)=0无解。 (4)f:R →R, f(x)=x2+2x-15 非单,非满。 (5) f:Z →Z, f(x)=1+2x3 单,非满。 1+2x3=5无解。
(6)A是集合， f:2A ? 2A→2A ? 2A, f(x,y)=(x ? y,x ? y) 非单: ({a}?{b}, {a}?{b}) = ({a,b}? ?, {a,b}? ?) 非满: (x ? y,x ? y)=({a}, {a,b})无解。 (7) f7:R ? R→R, f7(x,y)=x+y
去找 http://www.7zhao.net 非单,满. f(1,3)=f(2,2) f8:R ? R→R, f8(x,y)=xy 非单,满. f(1,3)=f(3,1)
2.证明：
(1).当f是单射时，根据单射定义，对所有t,s∈X,当t≠s时，
f(t)≠f(s),则f(x)中的元素个数与X中的元素个数相同； 又∵f:X→X，所以，f(x)是一个满射 ∴f必是双射。
(2)当f是满射时，根据满射定义及f的定义，对所有y∈X，都存
在x∈X，使f(x)=y，再根据函数的单值性，对所有t,s∈X,当t≠s时，f(t)≠f(s)。 ∴f必是双射。 3. 证明：
设x,y是有限集X上的2个元素，如果f(x)=f(y),则x= f2(x)= f2(y)= y ，说明是单射，由上题结果知f是双射。 4、证： 1）对?b1、b2?B，b1?b2
??a1、a2?A,?f(a1)?b1,f(a2)?b2 ?f(x)是满射，由g(x)的定义，a1?g(b1),a2?g(b2)，且a1?g(b2),a2?g(b1) 否则，如 a1?g(b2), a2?g(b1)，有 f(a1)?b2, f(a2)?b1
与函数的定义相矛 ?盾 g，(1b)?g(2b), 即 g(x为单射)
去找 http://www.7zhao.net 2）而g(x)为单射时，对?b?B,并不能保证 g(b)??,
?f(x)不一定是满射
5.解：
设A、B中元素个数分别为：m、n,则单射个数为：n(n-1)(n-2)…(n-m) 满射个数为：n,双射个数为：n!或m!，即m=n????????????? 6.解：f。g=(2x-1)+2,函数图形为以x=1/2为对称轴的一个抛物线，
由题，f,g都是实数上的函数，则f。g不是单射，不是满射，也不是双射；
g。f=2(x2+2)-1=2x2+3,函数图形为以Y坐标为对称轴的抛物
线，f(x)=f(-x)，所以，g。f不是单射，不是满射，也不是双射。
7、证： f:A?B,g:B?C
2
m
（1） 反证法：设不是单射， ?x1?x2?A,?f(x1)?f(x2) 即g?f(x1)?g(f(x1))?g(f(x2))?g?f(x2) 与g?f为单射矛盾（2）?g?f为满射 ?对?z?C, ?x?A, ?g?f(x)?g(f(x))?z 令f(x)?y?B ?? y?B, ?g(y)?z 即g为满射习题6.4:
3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。 证明：设A={a1,a2,…,an｝