去找 http://www.7zhao.net B={b1,b2,…,bn,…}
令Bi ={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…} (i≤n),则
A×B= , ?Bii?1k因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。 设Cm={cm1,cm2, …,cmn, …} 当m=2时，
构造双射f:N→C1∪C2,
N 1 2 3 4 5 6 … n-1 n … f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23 … c1(n/2) c2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。 假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。
则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。 习题6.2 4、证： 1）对?b1、b2?B，b1?b2
??a1、a2?A,?f(a1)?b1,f(a2)?b2 ?f(x)是满射，由g(x)的定义，a1?g(b1),a2?g(b2)，且a1?g(b2),a2?g(b1) 否则，如 a1?g(b2), a2?g(b1)，有 f(a1)?b2, f(a2)?b1
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与函数的定义相矛 ?盾 g，(1b)?g(2b), 即 g(x为单射)
2）而g(x)为单射时，对?b?B,并不能保证 g(b)??,
?f(x)不一定是满射7、证： f:A?B,g:B?C
（1） 反证法：设不是单射， ?x1?x2?A,?f(x1)?f(x2) 即g?f(x1)?g(f(x1))?g(f(x2))?g?f(x2) 与g?f为单射矛盾（2）?g?f为满射 ?对?z?C, ?x?A, ?g?f(x)?g(f(x))?z 令f(x)?y?B ?? y?B, ?g(y)?z 即g为满射习题6.4:
3．证明：非空有限集A与可数集B的笛卡尔积A×B也是可数集。 证明：设A={a1,a2,…,an｝ B={b1,b2,…,bn,…}
令Bi ={(ai,b1),(ai,b2),…,(ai,bn),…} (i≤n),则
A×B= , ?Bii?1k因为B为可数集，所以Bi为可数集。A×B为有限个可数集的并集。下面用归纳法证明有限个(m个)可数集的并集为可数集。 设Cm={cm1,cm2, …,cmn, …} 当m=2时，
构造双射f:N→C1∪C2,
去找 http://www.7zhao.net N 1 2 3 4 5 6 … n-1 n … f(N) c11 c21 c12 c22 c13 c23 … c1(n/2) c2(n/2) … 所以2个可数集的并集为可数集。
假设m=k-1(k≥3)时结论成立，即k-1个可数集的并集为可数集，记为D。
则m=k时，可以构造类似的双射g:N→D∪Ck,所以为可数集。因而有限个可数集的并集为可数集。所以A×B是可数集。