课时作业(四十九)
一、选择题
y2x2
1．(2013·吉林市期中复习检测)设双曲线9－a2＝1(a>0)的渐近线方程为3x±4y＝0，则双曲线的离心率为( )
5A.4 7C.4
5B.3 D.7
解析：由双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0知a2＝16，双曲线的9＋165
离心率为e＝3＝3，故选B.
答案：B
2．(2013·北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－5，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )
x22
A.4－y＝1 x2y2
C.2－3＝1
y2
B．x－4＝1
2
x2y2
D.3－2＝1
解析：由题可知c＝5，线段PF1的中点坐标为(0,2)，画图可得
2y
P(5，4)，故可得双曲线方程为x2－4＝1.
答案：B
x22
3．(2013·湖北武汉高三调研测试)已知椭圆m＋y＝1(m>1)和双曲x22
线n－y＝1(n>0)有相同的焦点F1、F2，P是它们的一个交点，则△
F1PF2的形状是( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形 解析：
B．直角三角形 D．随m、n变化而变化
x22
如图，对椭圆m＋y＝1(m>1)，c2＝m－1，|PF1|＋|PF2|＝2m， x22
对双曲线n－y＝1，c2＝n＋1，|PF1|－|PF2|＝2n， ∴|PF1|＝m＋n，|PF2|＝m－n，(2c)2＝2(m＋n)， 而|PF1|2＋|PF2|2＝2(m＋n)＝(2c)2， ∴△F1PF2是直角三角形．选B. 答案：B
x2y2
4．(2013·马鞍山第一次质检)斜率为3的直线与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．[2，＋∞) C．(1，3)
B．(3，＋∞) D．(2，＋∞)
b
解析：由双曲线的性质知a>3，即得c2－a2>3a2，e>2. 答案：D
5．(2014·河北沧州名师名校俱乐部二调)圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率为( )
23A.3或2 1
C.2或2
2B.3或2 13D.2或2 解析：不妨设|PF1|＝4x，|F1F2|＝3x，|PF2|＝2x，若此曲线为椭圆，2c3x则有|PF1|＋|PF2|＝6x＝2a，|F1F2|＝3x＝2c，所以离心率为e＝2a＝6x＝12c，若此曲线为双曲线，则有|PF|－|PF|＝2x＝2a，此时离心率e＝1222a3x3
＝2x＝2，故选D.
答案：D
x2y2
6．(2013·郑州第二次质量预测)如图所示，F1，F2是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A，B，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.2＋1 2＋1C.2
B.3＋1 3＋1D.2
解析：连接OA，AF1，|OA|＝|OF2|＝c，因△AF2B为等边三角形，∴∠AF2O＝∠F2AO＝30°，∠AOF2＝120°，|AF2|＝3c，△AF1O为c2等边三角形，∴|AF1|＝c，|AF2|－|AF1|＝3c－c＝2a，∴e＝a＝3－1＝3＋1，选B.
答案：B
x2y2
7．(2013·重庆市模拟)已知A是双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左顶点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是→→
△PF1F2的重心，若GA＝λPF1，则双曲线的离心率为( )
A．2 C．4
B．3
D．与λ的取值有关
→→OG
解析：由已知GA＝λPF1知GA∥PF1，即△OAG∽△OF1P，得OPOAa1c
＝OF＝c＝3得e＝a＝3，故选B.
1
答案：B 二、填空题
x2y2
8．(2013·湖南卷)设F1，F2是双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
解析：由已知可得，|PF1|＝2ccos 30°＝3c，|PF2|＝2csin 30°＝c，c由双曲线的定义，可得3c－c＝2a，则e＝a＝答案：3＋1
9．(2013·茂名市第一次模拟)已知双曲线x2－ky2＝1的一个焦点
2
＝3＋1. 3－1
是(5，0)，则其渐近线方程为________．
111
解析：由方程知a2＝1，b2＝k，∴c2＝5＝1＋k，∴k＝4，即b2
b
＝4，∴渐近线方程为y＝±2x. ax＝±
答案：y＝±2x
x2y2
10．(2013·辽宁卷)已知F为双曲线C：9－16＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
解析：由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.
答案：44
11．(2013·温州市高三第二次适应性测试)已知F1，F2分别是双曲y2
线x－b2＝1的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|
2
＝2且∠F1AF2＝45°.延长AF2交双曲线右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
解析：
由题知a＝1，根据双曲线定义|AF1|－|AF2|＝2a