所以|AF1|＝4，|BF1|－|BF2|＝2，∴|BF1|＝2＋|BF2|
由图知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|∴|BA|＝|BF1|，△ABF1为等腰三角形，又因∠F1AF2＝45°，所以∠ABF1＝90°，则△ABF1为等腰直1
角三角形，所以|AB|＝|BF1|＝22.所以S△F1AB＝×22×22＝4.
2答案：4 三、解答题
12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程； →→
(2)求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2面积．
解：(1)∵e＝2，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝6， ∴c＝23，
∴F1(－23，0)，F2(23，0)，
→→
∵MF1＝(－3－23，－m)，MF2＝(23－3，－m)， →→∴MF1·MF2＝(3＋23)×(3－23)＋m2 ＝－3＋m2，
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， →→∴MF1·MF2＝0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝43，由(2)知m＝±3. ∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝6.
x2y2
13．(2013·大纲卷)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为6；
(1)求a、b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．
a2＋b2c
解：(1)由题设知a＝3，即a2＝9，故b2＝8a2. 所以C的方程为8x2－y2＝8a2. 将y＝2代入上式，并求得x＝± 由题设知，2
2
1a＋2.
2
1a＋2＝6，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝22.
(2)由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为 8x2－y2＝8. ①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|<22，代入①并化简得 (k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
9k2＋86k2
x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝2，x1·x2＝2. k－8k－8于是
22|AF1|＝?x1＋3?2＋y21＝?x1＋3?＋8x1－8
＝－(3x1＋1)，
22|BF1|＝?x2＋3?2＋y22＝?x2＋3?＋8x2－8
＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1， 2即x1＋x2＝－3. 6k224192
故2＝－3，解得k＝5，从而x1·x2＝－9. k－8
2由于|AF2|＝?x1－3?2＋y1＝?x1－3?2＋8x21－8
＝1－3x1，
22|BF2|＝?x2－3?2＋y22＝?x2－3?＋8x2－8
＝3x2－1.
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4， |AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． [热点预测]
x2y214．(1)(2013·南平质检)已知双曲线Γ：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，则∠AFB＝( )
A．45° C．90°
B．60° D．120°
x2y2(2)(2013·石家庄质检(二))F1，F2分别是双曲线a2－b2＝1的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A．2 C.13
B.7 D.15
解析：
(1)双曲线的离心率为2，所以c＝2a，由题可得右图，所以∠AFB＝60°.
(2)
画出图形，由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，又∵△ABF2为等边三角形，
∴|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|BF2|＝|BA|＝4a，|BF1|＝6a，△BF1F2
中|F1F2|＝2c，∠F1BF2＝60°.
1
∴由余弦定理可得4c＝36a＋16a－2×6a×4a×2，离心率e＝
2
2
2
c
a＝7，故选B.
答案：(1)B (2)B