2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 当x?0?时，与x等价的无穷小量是 (A) 1?ex. (B) ln1?x. (C)
1?x1?x?1. (D) 1?cosx.
[ B ]
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
1x； 【详解】 当x?0?时，有1?ex??(ex?1)~?x；1?x?1~2111?cosx~(x)2?x. 利用排除法知应选(B).
221 (2) 曲线y??ln(1?ex)，渐近线的条数为
x(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
1【详解】 因为lim[?ln(1?ex)]??，所以x?0为垂直渐近线；
x?0x1又 lim[?ln(1?ex)]?0，所以y=0为水平渐近线；
x???xy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limx???xx???xx???x???1?exxx1?] limy[??xx???1lim?[?elxn?(1x=lim[ln(1)]?ex)?x]
x???x???xx??? =lim[lnex(1?e?x)?x]?limln(1?e?x)?0，
x???于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).
(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)??f(t)dt.则下列结论正确的是
0x35(A) F(3)??F(?2). (B) F(3)?F(2).
443(C) F(?3)?F(2). (D)
4[ C ]
F(?3)??5F(?2)4.
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
1F(2)??，【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：
2F(3)是两个半圆面积之差：F(3)?12[??12???(12)2]?38?=34F(2)，
F(?3)???300f(x)dx???f(x)dx??3?30f(x)dx?F(3)
因此应选(C).
(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是
(A) 若limf(x)f(x)?f(?x)x?0x存在，则f(0)=0. (B) 若limx?0x存在，则
f(0)=0.
(C) 若limf(x)x?0x存在，则f?(0)存在. (D) 若limf(x)?f(?x)x?0x存在，则
[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0.
若limf(x)f(x)?f(0)x?0x存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0?limf(x)x?0x?0，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)?x在x=0处连续，且
limf(x)?f(?x)x??xx?0x=limx?0x?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导。 (5) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令
un?f(n)(n?1,2,?,),
则下列结论正确的是
(A) 若u1?u2，则{un}必收敛. (B) 若u1?u2，则{un}必发散.
(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (D) 若u1?u2，则{un}必发散. f?(0)存
在
[
D
]
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f(x)=x2, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{n2}发散，排除(C); 设f(x)=
1, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且x1f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{}收敛，排除(B); 又若设f(x)??lnx，则f(x)在
n(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{?ln}n发散，排除(A). 故
应选(D).
(6) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是
(A) (C)
??TTf(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)
??TTf(x,y)dy.
fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy. [ B ]
【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。
【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1?x2,y1?y2. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
??TTf(x,y)dx??dx?x2?x1?0;
T?Tf(x,y)dy??dy?y2?y1?0;
TTf(x,y)ds??ds?s?0;
T?Tfx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy??df(x,y)?0.
故正确选项为(B).
(7) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) ?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]
【详解】用定义进行判定:令
x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0，
得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.
?x3?0,?x1 ??0, 因?1,?2,?3线性无关，所以 ??x1?x2 ? ?x2?x3?0.?1又 ?101?1?10?0， 10故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
?2?1?1??100????? (8) 设矩阵A???12?1?, B??010?, 则A与B
??1?12??000????? (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]
【详解】 由|?E?A|?0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.
又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .
(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0 (A) 3p(1?p)2． (B) 6p(1?p)2. (C) 3p2(1?p)2． (D) 6p2(1?p)2． [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前 123次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：C3p(1?p)2. 故选 (C) . (10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x)fY(y)分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件概率密度fX|Y(x|y)为 (A) fX(x)． (B) fY(y)． (C ) fX(x)fY(y). (D) fX(x)． [ A ] fY(y)【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是 fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) . 二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上) (11) ?211111xedx= e2. 32x【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】 ?211edx?x31x1?tx?123t111te(?2)dt??1tetdt t2 =?1tde?te21tt11211??1edt?e2. 221t (12) 设f(u,v)为二元可微函数，z?f(xy,yx)，则【详解】 利用复合函数求偏导公式，有 ?z=f1??yxy?1?f2??yxlny. ?x?z=f1??yxy?1?f2??yxlny. ?x (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为 y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2为任意常数. 【详解】 特征方程为 ?2?4??3?0，解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方程y???4y??3y?0的通解为 y?C1ex?C2e3x. 设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的特解为y*?ke2x，代入非齐次方程可得k= ?2. 故通解为y?C1ex?C2e3x?2e2x. (14) 设曲面?:x?y?z?1，则??(x?|y|)dS= ?43. 3【详解】 由于曲面?关于平面x=0对称，因此 ??xdS?=0. 又曲面 ?:x?y?z?1具有轮换对称性，于是 ??(x?|y|)dS=??|y|dS=??|x|dS=??|z|dS= ????1(|x|?|y|?|z|)dS ??3?= ?0?0(15) 设矩阵A???0??0?11343. dS=??8???3?323100001000??0?3A, 则的秩为1. ?1?0??