?0??0【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A3??0??0?000000001??0?3A, 故r()=1. ?0?0??1的概率为2 (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于
3． 4【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间
1??{(x,y)|0?x,y?1}, 记A?{(x,y)|(x,y)??,|x?y|?}.
2故 P(A)?SAS?33?4?，其中SA,S?分别表示A与? 的面积. 14三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)
求函数f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值。
【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为
fx?(x,y)?2x?2xy2，fy?(x,y)?4y?2x2y，解方程：
2??fx??2x?2xy?0, ? 得开区域内的可能极值点为(?2,1). 2?f?4y?2xy?0??y其对应函数值为f(?2,1)?2.
又当y=0 时，f(x,y)?x2在?2?x?2上的最大值为4，最小值为0. 当x2?y2?4,y?0,?2?x?2，构造拉格朗日函数 F(x,y?,?)2x?22y?22x?y?(?2x?2y 4)?Fx??2x?2xy2?2?x?0,53?)，解方程组 ?Fy??4y?2x2y?2?y?0, 得可能极值点：(0,2),(?,其对22?F??x2?y2?4?0,??应函数值为f(0,2)?8,f(?537,)?. 2247比较函数值2,0,4,8,，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.
4 (18) (本题满分10分) 计算曲面积分
I???xzdyd?2z?2zyd?3zdx x,ydxdyy2其中?为曲面z?1?x?(0?z?1)的上侧。
4【分析】 本题曲面?不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。
y2?1,z?0，取下侧. 则 【详解】 补充曲面：?1:x?42I????1???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy
?1 =???(z?2z)dxdydz???3xydxdy
Dy2?1. 其中?为?与?1所围成的空间区域，D为平面区域x?42 由于区域D关于x轴对称，因此??3xydxdy?0. 又
D???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3???10zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.
Dz01y2?1?z. 其中Dz:x?42(19) (本题满分11分)
设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令F(x)?f(x)?g(x)，则问题转化为证明F??(?)?0, 只需对F?(x)用罗尔定理，关键是找到F?(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c?(a,b)，使得F(c)?0，则在区间
[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F?(x)用罗尔定理
即可。
【证明】 构造辅助函数F(x)?f(x)?g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x),
g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1?x2, x1,x2?(a,b)使得
f(x1)?M?maxf(x),g(x2)?M?maxg(x)，
[a,b][a,b]若x1?x2，令c?x1, 则F(c)?0.
若x1?x2，因F(x1)?f(x1)?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?g(x2)?0，从而存在
c?[x1,x2]?(a,b)，使F(c)?0.
在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在?1?(a,c),?2?(c,b)，使得
F?(?1)?F?(?2)?0.
再对F?(x)在区间[?1,?2]上应用罗尔定理，知存在??(?1,?2)?(a,b)，有
F??(?)?0， 即 f??(?)?g???(). (20) (本题满分10分)
设幂级数?anxn在(??,??)内收敛，其和函数y(x)满足
n?0?y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
2an,n?1,2,?; n?1(II) 求y(x)的表达式.
【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。
(I) 证明：an?2?【详解】 (I)记y(x)=?anx, 则y???nanx,y????n(n?1)anxn?2,代入微
nn?1n?0n?1n?2???分方程y???2xy??4y?0,有
?n(n?1)axnn?2??n?2?2?nanx?4?anxn?0,
nn?1n?0n??即
(??(n?2)nn?01a)2x?n?2?n?0?n?naxn4?n?0?nnax? 0,故有 (n?2)n(?1a)2?n2n?na?即 an?2?2an,n?1,2?, ;n?1n4a? 0,(II) 由初始条件y(0)?0,y?(0)?1知，a0?0,a1?1. 于是根据递推关系式
an?2?21an, 有a2n?0,a2n?1?. 故 n?1n!y(x)=?anx =?a2n?xnn?0n?0??2n?1?212n?11??x=x?(x2)n?xex. n?0n!n?0n!?(21) (本题满分11分)
设线性方程组
?x1?x2?x3? ?x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?1?0,?0, ①
?0与方程
x1?2x2?x3?a?1 ②
有公共解，求a的值及所有公共解． 【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ③ ?2?x1?4x2?ax3?0,??a?1.?x1?2x2?x3 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得:
?1??1 A??1??1?112a4a2210??1??0??0???00???a?1???0110??1a?10?. ?0(a?2)(a?1)0?01?aa?1??于是1° 当a=1时，有r(A)?r(A)=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
?1??0A??0??0?010010000??0?， 0??0????1???此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?,
?1?????1???所以①与②的全部公共解为k?0?，k为任意常数.
?1???2° 当a =2时，有r(A)?r(A)=3，方程组③有唯一解, 此时
?1??0A??0??0?010000??01?，故方程组③的解为: ?1?1?00???0???与②有唯一?1?, 即①
??1????x1??0????. 公共解: 为x??x2???1???x3???1????? (22) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值?1?1,?2?2,?3??2, ?1?(1,?1,1)T是Ａ的属于
?1的一个特征向量,记B?A5?4A3?E其中E为3阶单位矩阵.
(I) 验证?1是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量． (II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】 (I) 由A?1??1 得 A2?1?A?1??1, 进一步 A3?1??1, A5?1??1， 故 B?1?(A5?4A3?E)?1
?A5?1?4A3?1??1
??1?4?1??1 ??2?1，
从而?1是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因B?A5?4A3?E, 及Ａ的3个特征值?1?1,?2?2,?3??2, 得 B的3个特征值为?1??2,?2?1,?3?1.
设?2,?3为B的属于?2??3?1的两个线性无关的特征向量, 又