矩阵行列式与可逆矩阵
一、n阶矩阵行列式
下面介绍线性代数中另一个基本概念——行列式，由于内容较多，我们主要介绍行列式的定义及其简单的计算，行列式的性质等内容请大家自己学习教材.
?a11?a21定义2.9 对任一n阶矩阵 A =?????an1a12a22?an2????????a1na2n?anna1n??a2n? ???ann?用式
a11a21?an1a12a22?an2
表示一个与A相联系的数，称为A的行列式，记作A. 规定：当n = 1时，A?a11?a11； 当n = 2时，A?a11a21a12a22?a11a22?a12a21；
n 当n > 2时，A?a11A11?a12A12???a1nA1n??aj?11jA1j，
其中A1j=(?1)1?jM1j，称M1j为A中元素a1j的余子式，它是A中划去第一行、第j列后剩下的元素按原来顺序组成的n – 1阶行列式；A1j为A中元素a1j的代数余子式.
（由定义可知，一个n 阶矩阵行列式表示一个数，而这个数可以由第一行的元素与其相应的代数余子式的乘积之和求出.
应该指出的是，方阵是一个数表，不能求数值的；而与它相应的行列式则表示一个数，是可以计算数值的.）
行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等，即A?A. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号. 性质3 n 阶行列式等于任意一行（列）所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 nnik? A??ak?1Aik （A??ak?1kjAkj）
其中 i = 1, 2, ?, n ( j = 1, 2, ?, n) . 性质4 n 阶行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代n数余子式的乘积之和等于零.即当i?k时，有 ?aj?1ijAkj?0.
性质5 行列式一行（列）的公因子可以提到行列式符号的外面.即
1
a11?a12??????a1n?a11?a12?ai2?an2?????a1n?ain ?ann ?ai1?an1?ai2?an2?ain??ai1?anna12?ai2?bi2?an2?an1????? 性质6 若行列式的某一行（列）元素都是两数之和：
a11?a1n?ain?bin ?ann A?ai1?bi1?an1则A等于下列两个行列式之和： a11?a12?ai2?an2?????a1n?a11?a12?bi2?an2?????a1n?bin ?ann A?ai1?an1ain?bi1?ann?an1 性质7 用常数?遍乘行列式的某一行（列）的各元素，然后再加到另一行（列）对应的元素上，则行列式的值不变.
（下面通过例题简单介绍行列式的计算方法）
?1231?21?2130?113223213?2121132 例1 计算 A?
解 首先按性质5，从第一行提出公因子，再从第四行提出，即
?121?2?110?1233?21
A?13?12?223
再利用性质7把第三列的元素尽可能多的化为零，即作“第三行加上第一行的1倍，第四行加上第一行的-2倍”的变换，得
?121?2?110?1233?21?1210?51000331?513122231215
??=?6
再利用性质3按第3列展开，即
2
?1210?51000331?5
16?215=?1?(?1)1?3?1651210?531 ?5再作“第三列加上第一列的-1倍”的变换，并按第二行展开，即
162?1510?531=?5162?151610?510?1016=?1?(?1)2?1??56?1??51???10?
=?
3110?5?(?10?5)?
?13132?4?1?3 例2 计算
A??521
解 首先交换第一列与第二列，然后作“第二行加上第一行的-1倍，第四行加上第一行的5倍”的变换，得
13?521?13132?4?1?313?8216?141?22?6?1710?5000
A?=
首先交换第二行与第三行，然后作“第三行加上第二行的4倍，第四行加上第二行的-8倍”的变换，得
13?8216?141?22?6?175413200?118?102?1?1015
000=
000
再作“第四行加上第三行的倍”，化成三角形行列式，其值就是对角线上的元素乘积，即
13200?118?102?1?1015103200?11802?151?2?8??40 ?10=25
000=002
（关于矩阵行列式，有一个重要结论请大家记住.） 定理2.1 对于任意两个方阵A，B，总有
AB?AB 即方阵乘积的行列式等于行列式的乘积.
3
（在上一讲中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法运算，那么矩阵是否有除法运算呢？这就是这下面要介绍内容.） 二、逆矩阵定义
定义2.11 对于n阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，满足 AB = BA = I （2-5-1）
则称矩阵A可逆，称B为A的逆矩阵，记作A?1. （由定义可知：）
满足公式（2-5-1）的矩阵A , B一定是同阶矩阵.
?0 例3 设矩阵 A =?1???211?11??2??2，B =4??0?????3?1?221??1 ??1??验证A是否可逆？
解 因为
?0AB =?1???211?11??2?0???2?4????31??1??1???0?1???2?1?2211?11??1??1=0???1??0??1??1??2=0??0????00100100??0 ?1??0??0 ?1???2BA =?4????3?1?22即A , B满足 AB = BA = I.所以矩阵A可逆，其逆矩阵A?1=B.
可以验证：单位矩阵I是可逆矩阵；零矩阵是不可逆的.
(1) 单位矩阵I是可逆矩阵. 证 因为单位矩阵I满足： II = I 所以I是可逆矩阵，且I?1?I. (2)零矩阵是不可逆的. 证 设O为n阶零矩阵，因为对任意n阶矩阵B，都有 OB = BO = O ?I 所以零矩阵不是可逆矩阵.
可逆矩阵具有以下性质：
(1) 若A可逆，则A?1是唯一的.
证 设矩阵B1 , B2都是A的逆矩阵，则B1 A = I，AB2 = I，且
B1 =B1 I = B1 (AB2 )= (B1 A )B2 = I B2 = B2
故A?1是唯一的.
(2) 若A可逆，则A?1也可逆，并且 (A?1)?1= A
若A可逆，则A?1也可逆，并且 (A?1)?1= A. 证 由公式（2-5-1）可知，AA?1= A?1A = I，故A?1是A的逆矩阵，同时A
4
是A?1的逆矩阵，即(A?1)?1= A.
(3) 若A可逆，数k?0，则kA也可逆，且 (kA)?1= 若A可逆，数k?0，则kA也可逆，且 (kA)?1= 1kA1k?1A?1
证 因为 kA (k?1A?1) = (kk?1)(AA?1) = I (k?1A?1) kA = (k?1k)(A?1A) = I 所以，kA可逆，且 (kA)?1= k?1A?1
(4) 若n阶方阵A和B都可逆，则AB也可逆，且
?1?1?1(AB)?BA 证 因为 A和B都可逆，即A?1和B?1存在，且
(AB )(B?1A?1) = A( B B?1)A?1= AI A?1= AA?1= I (B?1A?1)(AB ) = B ( AA?1)B?1= B I B?1= BB?1= I
根据定义2.11，可知AB可逆，且(AB)?1?B?1A?1.
性质(4)可以推广到多个n阶可逆矩阵相乘的情形，即当n阶矩阵A1 , A2 , ? , Am都可逆时，乘积矩阵A1A2?Am也可逆，且
?1?1?1( A1A2?Am)?1= Am?A2A1 特别地，当m = 3时，有
( A1A2A3)?1= A3?1A2?1A1?1
问题：若n阶方阵A和B都可逆，那么A+B是否可逆？
答：尽管n阶矩阵A和B都可逆，但是A + B也不一定可逆，即使当A + B可逆
（A?B)?1?A?1?B?1，例如
?1 A =?0???00?100??1??0， B =0??2???0?0000100??0 ?2??都是可逆矩阵，但是
?20 A + B =????00??0 ?4??是不可逆的.而A + A = 2A可逆，但是
（A?A)?1=（2A)?1=2?1A?1?A?1?A?1= 2A?1
(5) 若A可逆，则A?也可逆，且 (A?)?1= (A?1)?.
若A可逆，则A?也可逆，且 (A?)?1= (A?1)?. 证 因为矩阵A可逆，故A?1存在，且 (A?1)?A?=(AA?1)?=I?=I
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