大学物理练习册
解：(1) 以小球和斜面为研究对象，水平方向动量守恒。
设碰撞后小球和斜面速度大小为v?、V，则
?A vv ? B 3-19
mv?MV，V?mv。 MM?m111又根据能量守恒定理 mv2?mv?2?MV2，v??v
M222(2) 由动能守恒知 v??v。小球与斜面碰撞时，斜面对小球的作用力在垂直于斜面方向，碰撞前后在
平行于斜面方向动量守恒 mvcos??mv?cos??，????
所以碰撞后小球运动方向与水平方向的夹角为2?。
第四章
转动惯量
4-1 有一直棒长为L，其中一半的质量为m1（均匀分布），另一半的质量为m2（均匀分布），如图4-1所示，
求此棒对过端点O，并垂直于纸面的轴的转动惯量。 解：J?xdm?m?2?L/202m12xdx?l?2m22L2xdx?(m1?7m2)
L/2l12LL/2 O m1
图4-1
L/2 m2 4-2求半径为R，质量为m的均匀球体相对于直径轴的转动惯量。如以与球体
相切的线为轴，其转动惯量又为多少？ 解：将球看成由许多薄圆盘组成，圆盘半径 r?Rcos?，厚度 dh?Rd?cos?
对应的质量 dm???r2dh???R3cos3?d?
121rdm???R5cos5?d? 22?/21?/288m22J?2rdm???R5cos5d????R5??R5?mR2
0021515435?R327由平行轴定理，J??J?mR2?mR2?mR2?mR2
55薄圆盘对过球心轴的转动惯量为 dJ???4-3两个质量为m、半径为R的匀质圆薄板和一根长为l=8R的细杆相连，如图4-3所示，求以下两种情况
时，此系统对于过细杆中心并与杆垂直的轴AA’的转动惯量。（1）忽略细杆质量；（2）细杆质量为M。
l?1?解：(1) 由平行轴定理 J?2?mR2?m(?R)2??51mR2
2?2?A l R A’ 图4-3 R 164 (2) J??J?Ml2?51mR2?mR2?61.67mR2
126力矩和转动定律
4-4如图4-4所示，一长为l，质量为m匀质细杆竖直放置，因受到扰动而倒下（设下端不滑动）。试求当
细杆转到与竖直线成 ? 角时的角加速度和角速度。
13
大学物理练习册
lmgsin?M3g2解：????sin? 12J2lml3l ? ??d?d?，??dtd???0?d????d?，??0?3g(1?cos?) l图4-4
另解：机械能守恒，mg(1?cos?)?l23g12(1?cos?) J?，??l24-5如图4-5所示，有一质量为m，长为l的均匀细杆，可绕水平轴O无摩擦地转动，杆的一端固定一质量
为3 m的小球A，OA＝l/4。开始时杆在水平位置，试求细杆由静止释放后绕O轴转动的角加速度。（不计小球大小）
A l lll212l212解：M?(3m?m)gcos??mgcos?，J?3m()?ml?m()?ml
O 4241243l/4 图4-5 lmgco?sM23g ????co?s
12J2lml34-6一均匀圆盘，质量为m，半径为R，可绕通过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转动，如图4-6所示。
圆盘与桌面间的动摩擦因数为? ，若用外力推动使其角速度达到 ?0 时，撤去外力，求（1）转动过程中，圆盘受到的摩擦力矩；（2）撤去外力后，圆盘还能转动多少时间？ 解：(1) 在距中心r处取一宽度为dr的圆环，该圆环所受的摩擦力大小为 df??g?2?rdr
该摩擦力对中心轴的力矩为 dM??rdf???g?2?r2dr 所以 M???R0?g?2?r2dr????g23m32 R???mgR?R23图4-6 2?mgR???03R?0M43??????g，t?(2) ??
1?4?gJ3RmR22角动量和角动量守恒定律
4-7水平桌面上放有一根长l=1.0m，质量m=3.0kg的匀质细杆，可绕通过端点O的垂直轴OO’转动，开始
时杆静止。现有100N的力，以与杆成? =30o的角打击杆的一端，打击时间 ?t=0.02s，如图4-7所示。求（1）杆的角动量的变化；（2）杆转动时的角速度。 解：(1) 冲量矩为
?0.020Moo?dt??0..020lFsin30?dt?1?100?0.5?0.02?1kg?m2/s
由刚体定轴转动定律 ?L?J??J?0?J??(2) ???M0too?dt?1kg?m/s
2O'?L1??3rad/s 12Jml3Olm?F图4-7
?4-8上题中细杆被一颗质量m’=20g的子弹以??30?的角射中中点，如图4-8所示。已知杆与桌面的动摩
O'擦因数 ?=0.20，子弹射入速度v=400m/s，并以v/2的速度射出。
14
Olm??m'v图4-8
大学物理练习册
求：(1) 细杆开始转动的角速度；（2）细杆转动时受到的摩擦力矩和角加速度各为多少？（3）细杆转过多大角度后停下来。
解：(1) 子弹射入前后系统对O点角动量守恒
11vlm?vsin30??lm?sin30??J? 22211lm?vlm?vsin30?3m?v3?0.02?4008??4????3rad/s
12J8ml8?1?1ml3mmdr，df??gdm，dM??rdf??r?gdm???grdr ll1?mgll3?gM3?0.2?9.8m1??2??????2.94rad/s2 M???grdr???mg，l??012J2l2?1l2ml3(2) dm??d?d?(3) ??，??dtd??232?0?d?????d?，???2??2?2.94?1.53rad
?04-9在半径为R1、质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖
直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心、半径为R2（R2＜R1）的圆周，以相对于圆盘的速度为v匀速走动时，则圆盘将以多大的角速度旋转？ 解：设圆盘以角速度?旋转，则人相对于地面的角速度为 ?????系统对圆盘中心轴的角动量守恒 J??J????0，
v R2R2v2Rv1vmR12??mR22(??)?0，???222
122R2R1?2R2R1?R222功和能
4-10如图4-10所示。滑轮的转动惯量J＝0. 5kg · m2，半径r＝30 cm，弹簧的劲度系数k＝2.0 N／m，重物
的质量m=2.0 kg，开始时弹簧没有伸长。当此系统从静止开始启动，物体沿斜面滑下1.0m时，求：（1）物体的速率多大？（2）物体滑下1.0m过程中，作用在滑轮上的力矩所作的功。（不计斜面和转轴的摩擦）
J r 解：(1) 系统机械能守恒
m 1211vkx?J?2?mv2?mgxsin30?，?? 222r
k 300 图4-10
2mgxsin30??kx22?2?1?9.8?0.5?2.0?12 v? ??1.53m/sJ2?0.5?0.32m?2r11111.532222?6.5J (2) A?J??J?0?J???0.5?22220.324-11长l＝0. 40 m的均匀木棒，质量M＝1. 0kg，可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直
15
大学物理练习册
悬垂。现有质量m＝8g的子弹，以v＝200m／s的速率从A点射入棒中，假定A点与O点的距离为如图4-11所示。求：（1）棒开始运动时的角速度；（2）棒的最大偏转角。 解：(1) 子弹射入前后系统对O点的角动量守恒
3l，4123193Ml?m?(l)2??1?0.42?0.008??0.42?0.054kg?m2 34316433mvl?0.008?200?0.4O 44 ????8.89rad/s
J0.0543l1l3(2) 设棒最大偏转角为?，由机械能守恒，J?2?Mg(1?cos?)?mgl(1?cos?)， 4l 2241J?2A 0.054?8.8922(1?cos?)???1.0758
l33Mg?mgl1?9.8?0.4?0.008?9.8??0.4图4-11 242 mv?l?J?，J?cos???0.0758 ??94.4? 最大偏转角超过90?
第五章
理想气体状态方程
5-1一容器内储有氧气，其压强为1.01?105Pa，温度为270C，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的质
量密度；（3）氧分子的质量；（4）分子间的平均距离（设分子均匀等距分布）。
p1.01?105??2.44?1025/m3 解：(1) p?nkT，n??23kT1.38?10?(273?27)mpMmol1.01?105?32?10?3pVm??1.30kg/m3 ?R，????(2) ?VRT8.31?(273?27)TMmol(3) ???mO2n， ?mO2?(4) d?3?n?1.30?5.33?10?26kg 252.44?10131?9??3.45?10m n2.44?10255-2在容积为V的容器中的气体，其压强为p1，称得重量为G1。然后放掉一部分气体，气体的压强降至p2，
再称得重量为G2。问在压强p3下，气体的质量密度多大？ 解： 设容器的质量为m，即放气前容器中气体质量为m1?由理想气体状态方程有
GG1?m，放气后容器中气体质量为m2?2?m。 ggG1G2?m?mm1m2ggp1V?RT?RT， p2V?RT?RT
MmolMmolMmolMmol上面两式相减得
16
大学物理练习册
RTRTG2?G1(G2?G1)?(p2?p1)V， Mmo?() lMmolggVp2?p1当压强为p3时， ??m3Mmolp3pG?G1??3?2 VRTgVp2?p1压强、温度的微观意义
--5-3将2.0?102kg的氢气装在4.0?103m2的容器中，压强为3.9?105Pa，则氢分子的平均平动动能为多少？ 解： ?pV?mMpVRT，?T?mol MmolmR
33MmolpV32?10?3?3.9?105?4.0?10?3?23?t?kT?k??1.38?10??3.88?10?22J ?222mR22?10?8.315-4体积V?10?3m3，压强p?105Pa的气体分子平均平动动能的总和为多少？ 解：??t?NN3pV kT，其中N为总分子数。 ?p?nkT?kT，N?kT2VpV333???t?kT?pV??105?10?3?150J
kT2225-5温度为0℃和100℃时理想气体分子的平均平动动能各为多少？欲使分子的平均平动动能等于1eV，气
-体的温度需多高？（1eV=1.6?1019J） 解：0?C时，?t?0?33kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J 2233100?C时，?t?100?kT??1.38?10?23?373?7.72?10?21J
22?1eV?1.6?10?19J，? 分子具有1eV平均动能时，气体温度为
2?t2?1.6?10?19T???7.73?103K ?233K3?1.38?10能量均分、理想气体内能
-5-6容积V=5.0?103m3的容器中装有氧气，测得其压强p=2.0?105Pa，求氧气的内能。
解：E?mimi5RT，又 pV?RT，所以 E?pV??2.0?105?5.0?10?3?2.5?103J
Mmol2Mmol225-7若氢气和氦气的压强、体积和温度均相等时，则它们的质量比
mH2mHe和内能比
EH2EHe各为多少？
解：?pV?MH2MmolH2RT pV?MMMHe21RT，?H2?molH2??
MmolHeMHeMmolHe42又 ?E?EiMiii5RT??RT?pV，?H2?H2?
Mmol222EHeiHe3--
5-8容器内盛有理想气体，其密度为1.25?102kg/m3，温度为273K，压强为1.0?102atm。求：（1）气体的
摩尔质量，并确定是什么气体；（2）气体分子的平均平动动能和平均转动动能；（3）容器单位体积内
17