大学物理练习册
分子的总平动动能；（4）若该气体有0.3mol，其内能是多少？ 解：(1) ?Mmol
1.25?10?2?8.31?273mRTm?23?28?10?3kg/mol ?, ?1.25?10kg/m， ?Mmol??251.0?10?1.013?10pVV气体是N2或CO
33kT??1.38?10?23?273?5.65?10?21J，?转动自由度 i??5?3?2 22i???转?kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J
2p1.0?10?2?1.01?105??2.69?1023/m3 (3) ?p?nkT, ?n??23kT1.38?10?273(2) ?t?
Ek?n??t?2.69?1023?5.65?10?21?1.52?103J
(4) E?mi5RT?0.3??8.31?273?1.70?103J
Mmol22速率分布定律、三种速率
5-9计算气体分子热运动速率介于（vp-vp/100）和（vp+vp/100）之间的分子数占总分子数的百分比。（vp为
最概然速率）
mv??Nm32?f(v)?v?4?()e2kT?v2?v 解：速率区间较小时 N2?kT2令 x?v, vp?vpvp2kT?N42?x2?xe?x ，?mN?vp?1.01vp时，x?1.01；??x?0.02
1001002?N4?(0.99)2e?(0.99)?0.02?1.66% 所以 N?5-10有N个粒子，其速率分布函数为
f(v)?C （0≤v≤v0） f(v)?0 （v＞v0） 其中C为常数。（1）作速率分布曲线；（2）由v0求常数C；（3）求粒子的平均速率。
解：(1) 速率分布曲线如右图。
?v0当 v?vp??.099vp时，x?0.99；v?vp?(2) 由归一化条件
??0v0f(v)dv?1，cdv?cv0?1，得 c?
0?1
v0
f(v) C (3) v?vf(v)dv?v?cdv?00??c2v0v0? 220 v0
v
5-11（1）某气体在平衡温度T2时的最概然速率与它在平衡温度Tl时的方均根速率相等，求T2／T1；（2）
如已知这种气体的压强p和密度ρ，试导出其方均根速率表达式。
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解：(1) ?vp?2RT3RT，v2?， 由题意 MmolMmolT32RT23RT1，得 2? ?T12MmolMmol(2) 由理想气体状态方程 pV?pmRTmMpRT，????mol，即 ? MmolMmol?VRT?v2?3p3RT ?Mmol?5-12图5-12是氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线。试由图中的数据求：（1）氢气分子和
氧气分子的最概然速率；（2）两种气体的温度。 解：(1) 由 vp?2RT可知，在相同温度下，Mmol大的气体vp小， Mmol2f(v) I II 所以曲线??对应氢气的分布，即vpH?2000m/s
O vpO?2MmolH22MmolO2?vpH2??2000?500m/s
3222000
图5-12
v/(m·s-1)
Mmol?vp2?10?3?(2000)22RT??4.81?102K (2) 由 vp? 得 T?2R2?8.31Mmol碰撞频率与自由程
5-13 （1）如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由程
为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由程又为原来的多少？ 解：?Z?2?d2vn，??12?d2n，n?p8RT，v?
?MmolkT?Z?2?d2kT8RTp16?Rd2p??，?? ?MmolkT?kT2?d2p设原平均碰撞频率为Z0，平均自由程为?0
Z0，?1?2?0 21(2) 当P保持不变，T降为原值一半时，Z1?2Z0，?2??0
2-10
5-14设氮分子的有效直径为10?10 m。（1）求氮气在标准状态下的平均碰撞次数和平均自由程；（2）如
果温度不变，气压降到1.33?10-4 Pa，则平均碰撞次数和平均自由程又为多少?
(1) 当T保持不变，p降为原值一半时，Z1?解： (1) P0?1.013?105Pa，T0?273K， ?v?8RT08?8.31?273??454m?s?1 ?3?Mmol??28?10 19
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p1.013?105??2.69?1025m?3 n??23KT01.38?10?273 ?Z?2?d2vn?2??(1.0?10?10)2?454?2.69?1025?5.42?108s?1 ?? 1v454???8.38?10?7m 822?dnZ5.42?18?4p'1.33?10?416?3??3.53?10m(2) p'?1.33?10Pa时， n?? ?23KT01.38?10?273
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