2011年江苏省泗阳中学高一年级第二学期
期末模拟试卷
数 学
注意事项:
1．考试时间120分钟，试卷满分160分．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方． 2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1.从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 . 2.在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos?x2?的值介于0到
1之间的概率为 . 23．如图，直角?POB中，?PBO?90，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB=?弧度，则tan?= ▲
?.
??????4.设i,j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，OP?3cos?i?3sin?j，??(0,),OQ??i。若用α
2来表示OP与OQ的夹角，则α等于 .
5．已知tan? tan?是方程x+33x+4=0的两根，若?，??(-6.已知|p|=22,|q|=3,p、q的夹角为
2
??,)，则?+?= .
22?，如图2，若AB=5p+2q,AC=p-3q,D为BC的中点，4
则|AD|= 7．对于任意实数a，要使函数y?5cos(2k?1??x?)(k?N*)在区间[a,a?3]上的值365出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k= . 48.如图，AB是半圆O的直径，C , D是弧AB三等分点，M , N是线段AB的三等分点，
→→D 若OA = 6，则MD·NC的值是 ▲ ． 9.（2007天津）设两个向量a?(??2，??cos22C ?)和b??m，?sin??，
A M ??m2??，?为实数．若a?2b，则其中?，m10. 函数
?的取值范围是 . mO N B y?4sin(?x?)cos(?x?)?2sin(?x?)cos(?x?)(??0)的图
4444像与直线y?3在y轴右侧的交点横坐标从小到大依次为p1,p2,?且
????|p2?p1|??2，则函数的递增区间为 _ ___.
11.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。
序号 （i） 1 2 3 4 5 分组 组中值频数 （人数） 6 10 20 10 4 频率 （Fi） 0.12 0.20 0.40 0.20 0.08 （睡眠时间） （G） i[4,5) [5,6) [6,7) [7,8) [8,9) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是 。
12.若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动， 则AP?(PB?PD)的最大值 是
??????????13．有两个向量e1?(1,0)，e2?(0,1)，今有动点P，从P0(?1,2)开始沿着与向量e1?e2相同的方向作匀速直线运动，???????????????2,)1?开始沿着与向量3e1?2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|e1?e2|；另一动点Q，从Q0(?速度为|3e1?2e2|．设
??????????P、Q在时刻t?0秒时分别在P0、Q0处，则当PQ?P0Q0时，t? 秒．
14．如图放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB＝90?，AC＝2)沿x轴滚动，设顶点A(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则f(x)在其相邻两个零点间的图象与x轴所围区域的面积为 ．
二、解答题: 本大题共6小题， 15-17每题14分，18-20每题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答， ．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明， 证明过程或演算步骤．
115. (本题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，点P(,cos2?)在角?的终边上，点Q(sin2?,?1)在角?的终边上，
2????????1且OP?OQ??．
2（1）求cos2?的值；
（2）求sin(???)的值．
16．(本题满分14分)已知函数f (x)＝
2sinx1?cos2x
⑴ 求f (x)的定义域．
⑵ 用定义判断f (x)的奇偶性．
⑶ 在[－π，π]上作出函数f (x)的图象．
⑷ 指出f (x)的最小正周期及单调递增区间．
17. （本小题满分14分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率. 18.（本题满分16分）在某个旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化． 现假设该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)?100?Acos??n?2??k来刻画． 其中：正整数n表示月份且n??1,12?，例如n?1时表示1月份；A和k是正整数；??0．
统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ① 各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
② 该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人； ③ 2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；
（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由． 19．（本小题16分）如图△ABC为正三角形，边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，PQ为圆A的任意一条直径．
[来源:Z.xx.k.Com][来源学科网Z|X|X|K]Ks5u??（1）若CD?1DB，求|AD|； 3A P
（2）求BP?CQ的最大值．
Q ????（3）判断BP?CQ?AP?CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由；
B
D C 3
20.( （本小题16分）已知函数f(x)＝3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋(ω∈R，x∈R)的最小正周期为π，且图象关于直
2
π
线x＝对称．
6
(1)求f(x)的解析式；
π
(2)若函数y＝1－f(x)的图象与直线y＝a在[0，]上只有一个交点，求实数a的取值范围．
2
高一年级期末模拟试卷参考答案
一、填空题： 1.100；2.6.
12；3.2；4. ???；5.-?3 315??1;7. 2和3;8.26;9.[-6，1];10. [k??,k??](k?Z);11. 6.42;12. ;13.2;14.2＋4?． 2444二、解答题:
????????11115. 解：（1）因为OP?OQ??，所以sin2??cos2???，
222112即(1?cos2?)?cos2???，所以cos2??， 223所以cos2??2cos??1? （2）因为 cos??221． 3211212，所以sin??，所以点P(,)，点Q(,?1)， 332334312 又点P(,)在角?的终边上，所以sin??，cos?? ．
235531010同理 sin???，cos??，
1010410331010???(?)??． 51051010?2所以sin(???)?sin?cos??cos?sin??
16. 解：(1) 由1＋cos2x＞0得2cos2x＞0 ∴cosx≠0即x≠kπ＋∴函数f (x)的定义域为{x｜x≠kπ＋
?2，(k∈z)
，k∈z｜}
(2)∵定义域关于原点对称，且对任意的定义域中x， f (－x)＝
2sin(?x)1?cos(?2x)??2sinx1?cos2x??f(x)
∴f (x)为奇函数. (3) f (x)＝
?2sinx2cosx?sinxcosx又x∈[－π，π]
y 且x≠－,x?2?2
???tanx(??x?)?22∴f(x)＝? ?????tanx(???x??或?x??)?22?? 2-π ?0 ?2 π x f (x)的图象如右：
(4) 由图知，f(x)的最小正周期为2π． f (x)的单调递增区间是(??2?2k?,?2?2k?)(k∈z)
17. 解 （1）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400.
（2）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f?35?0.5故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率p?0.5 70（3）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为 样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率p?915?35。
18. 解：（1）根据三条规律，可知该函数为周期函数，且周期为12．
由此可得，T?2???12????6；
由规律②可知，f(n)max?f(8)?100A?100k，f(n)min?f(2)??100A?100k f(8)?f(2)?200A?400?A?2；
又当n?2时，f(2)?200?cos(?6?2?2)?100k?100，
所以，k?2.99，由条件k是正整数，故取k?3．
综上可得，f(n)?200cos????6n?2????300符合条件． （2） 解法一：由条件，200cos????6n?2????300?400，可得
cos????6n?2????12?2k?????3?6n?2?2k??3，k?Z
?6????2k???3?2????n?6??????2k??3?2??，k?Z[来源学#科#网 ]?12k?2?12??n?12k?2?12?，k?Z．
因为n??1,12?，n?N*，所以当k?1时，6.18?n?10.18，
故n?7,8,9,10，即一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”． 解法二：列表，用计算器可算得
月份n
… 6 7 8 9 10 11 … 人数
f(n)
… 383 463 499[来源 学#科#网Z#X#X#K]482 416 319 …
故一年中的7，8，9，10四个月是该地区的旅游“旺季”．
19. 解：（1）?AD?AC?14CB ?|AD|?(AC?113134CB)2?4?2； （2）
BP?CQ?(BA?AP)?(CA?AQ)?1?AQ(BA?CA)?1?AQ?BC?1?2cos?
（其中?为AQ与BC的夹角）所以 ?=0时，(BP(3）由于BP??CQ??AP??CB??(AP??AB?)?(AQ??CQ?AC?)取最大值)?AP??3．
?AQ???AP?BP??CQ??AP??CB??(AP??AB?)?(?AP??AC?(AB?)?AP?AC)(AB?,
?AC?)??AP?2?AB??AC?AB??AC??AB??AC?co?BACs?2,AP?2?1,
.因为
??????2?????所以BP?CQ?AP?CB??AP?AB?AC?1,即BP?CQ?AP?CB不会随点P的变化而变化，值为1。
3
20.解 (1)∵f(x)＝3sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋ 2
313π
sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)＋＝sin(2ωx－)＋1， 2226
2ππ
∵函数f(x)的最小正周期为π，∴＝π，即ω＝±1，∴f(x)＝sin(±2x－)＋1.
|2ω|6πππ
①当ω＝1时，f(x)＝sin(2x－)＋1，∴f()＝sin＋1不是函数的最大值或最小值，
666
π
∴其图象不关于x＝对称，舍去．
6
πππ
②当ω＝－1时，f(x)＝－sin(2x＋)＋1，∴f()＝－sin＋1＝0是最小值，
662
ππ
∴其图象关于x＝对称．故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin(2x＋)．
66
π
(2)∵y＝1－f(x)＝sin(2x＋)在同一坐标系中作出
6
π
y＝sin(2x＋)和y＝a的图象：
6＝