?an?(?1)n?2n?1(?1)ann?2
?a?an.
5．逆推公式法
逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn－2之间的一种关系——称为逆推公式（其中Dn, Dn－1, Dn－2等结构相同），再由递推公式求出Dn的方法称为递推公式法。
例5 证明
x0Dn??0ann?1x?0an?1n?10?1?0an?2?a2x?????n?200?xa200??1a1?x
?x?a1x???an?1x?an,(n?2)
证明：将Dn按第1列展开得
x0Dn?x?0an?1?1x?0an?2?1?(?1)n?10?1?0an?30?1?0?????????00?x00?xa200??100??1a1?x
anx?0
?an?xDn?1
由此得递推公式：Dn?an?xDn?1，利用此递推公式可得
Dn?an?xDn?1?an?x(an?1?xDn?2)?an?an?1x?xDn?2
2
???an?an?1x???a1xn?1?xn
6．利用范德蒙行列式
例6 计算行列式
1x1?1D?x1?x1?x1n?1n?221x2?1x2?x2?x2n?1n?22???1xn?1xn?xn?n?1n?22
?x1?x2?xn?xn解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式
1x1D?x1?x1n?121x2x2?x2n?12???1xnxn?2??n?i?j?1(xi?xj)
?xnn?17．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7 计算n阶行列式
x?a1a1Dn?a1?a11a1?a2x?a2a2?a2an?????ananan?x?an
解：
Dn?0?0Dn
1第i行减第1行a1x0?0a20x?0?????an00?x?1i?2,?,n?1?1??1（箭形行列式）
n1???j?1axja1x00a20x0????an00x000
??x?1??nn?j?1aj?? x?8．数学归纳法 例8 计算n阶行列式
x0Dn??0an?1x?0an?10?1?0an?2?????00?xa200??1a1?x
解：用数学归纳法. 当n = 2时
D2?xa22?1x?a1?x(x?a1)?a2
?x?a1x?a2
假设n = k时，有
Dk?xk?a1xk?1?a2xk?2???ak?1x?ak
则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得
Dk?1?xDk?ak?1?x(x?xk?1k
k?1?a1xk???ak?1x?ak)?ak?12
?a1x???ak?1x?akx?ak?1
由此，对任意的正整数n，有
Dn?x?a1xnn?1???an?2x?an?1x?an2
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
a1??1a22????anan?an??na2a2??2?0????anan?an??n例9 计算行列式
Dn?a1?a1a2???a2anan?an??n?
a1a2a2??2?a2a2????????anan??10?0解：Dn?a1?a1a1
?0?0?2?0??1Dn?1
?n?a1?2??n??1Dn?1
……
???1?2??n?1??n?i?1ai???i?
上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
ax?byay?bzaz?bxxyz(1)ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yzxaz?bxax?byay?bzzxy;
证明
ax?byay?bzaz?bxay?bzaz?bxax?byaz?bxax?byay?bz
xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx?ayaz?bxax?by?bzaz?bxax?byzax?byay?bzxax?byay?bzxay?bz?a2yaz?bxzax?byzyzaz?bxx?b2zxax?byyxyay?bz
xyzyzx?a3yzx?b3zxyzxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzxzxyzxyxyz?(a3?b3)yzxzxy
?
关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）
a2abb2(2)2aa?b2b111?(a?b)3;
证明
a22a13?1aba?b1b2c2?c1a2ab?a2b2?a22b?????2ab?a2b?2a001c3?c11
?(?1)ab?a2b?ab2?a2ab?a?(b?a)(b?a)?(a?b)3 122b?2a1(3)aa2a41bb2b411cdc2d2c4d4
?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d); 证明
1aa2a41bb2b411cdc2d2c4d4
11110b?ac?ad?a?0b(b?a)c(c?a)d(d?a)0b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)（c2 ,c3 ,c4减数字去第一
列的）