111?(b?a)(c?a)(d?a)bcd222b(b?a)c(c?a)d(d?a)
111?(b?a)(c?a)(d?a)0c?bd?b0c(c?b)(c?b?a)d(d?b)(d?b?a)?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)11c(c?b?a)d(d?b?a)
=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)?
x?100x?1(4)? ? ?? ? ?? ? ?000anan?1an?2? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?0000?? ? ?x?1a2x?a1?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ?
证明 用数学归纳法证明? 当n?2时?
D2?x?1?x2?a1x?a2a2x?a1? 命题成立?
假设对于(n?1)阶行列式命题成立? 即 Dn?1?xn?1?a1 xn?2? ? ? ? ?an?2x?an?1? 则Dn按第一列展开? 有
?10x?1Dn?xDn?1?an(?1)n?1 ? ? ? ? ? ? 11 ? ? ? 00 ? ? ? 00 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x?1
?xD n?1?an?xn?a1xn?1? ? ? ? ?an?1x?an ?
因此? 对于n阶行列式命题成立? 6? 设n阶行列式D?det(aij), 把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转? 依次得
an1? ? ?annD1?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?a1na1n? ? ?annD2?? ? ?? ? ?? ? ?a11? ? ?an1ann? ? ?a1nD3?? ? ?? ? ?? ? ?an1? ? ?a11? ? ?
n(n?1)证明D1?D2?(?1)2D? D3?D ?
证明 因为D?det(aij)? 所以
a11an1? ? ?annaD1?? ? ?? ? ?? ? ??(?1)n?1n1? ? ?a11? ? ?a1na21? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1nann? ? ?a2n
a11a21?(?1)n?1(?1)n?2an1? ? ?a31? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a1na2nann? ? ? ? ? ? ?a3nn(n?1)2
?(?1)1?2?? ? ??(n?2)?(n?1)D?(?1)D?
同理可证
n(n?1)D2?(?1)n(n?1)2a11? ? ?an1n(n?1)n(n?1)T? ? ?? ? ?? ? ??(?1)2D?(?1)2Da1n? ? ?annn(n?1)n(n?1)2?
D3?(?1)2D2?(?1)(?1)2D?(?1)n(n?1)D?D
7? 计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)?
a (1)Dn?1? ? ?1, 其中对角线上元素都是a? 未写出的元素都
a是0? 解
a000a000aDn?? ? ?? ? ?? ? ?000100? ? ?01? ? ?00? ? ?00(按第
? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a0? ? ?0a n行展开)
0an?1?(?1)0? ? ?000a? ? ?0000? ? ?0a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?a1a0? ? ?(?1)2n?a0?? ? ?a0(n?1)?(n?1)?an?a
n
(n?1)?(n?1)
?(?1)n?1?(?1)n? ? ??an?2?an?2(a2?1)?
a(n?2)(n?2)x(2)Dn?? a? ?aax? ? ?a? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?aa; ? ? ?x 解 将第一行乘(?1)分别加到其余各行? 得
xaaa?xx?a0Dn?a?x0x?a? ? ?? ? ?? ? ?a?x00? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a?
再将各列都加到第一列上? 得
x?(n?1)aaa0x?a0Dn?00x?a? ? ?? ? ?? ? ?000? ? ?(a?n)n? ? ?(a?n)n?1? ? ?? ? ?? ? ?a?n? ? ?1? ? ?a? ? ?0? ? ?0? ? ?? ? ?0x?a?[x?(n?1)a](x?a)n?1?
an(a?1)nan?1(a?1)n?1(3)Dn?1?? ? ?? ? ?aa?111;
解 根据第6题结果? 有
1an(n?1)?(?1)2? ? ?an?1an1a?1? ? ?(a?1)n?1(a?1)n? ? ?1? ? ?a?n? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?(a?n)n?1(a?n)n
Dn?1
此行列式为范德蒙德行列式?
n(n?1)
Dn?1?(?1)2?[(a?i?1)?(a?n?1?i?j?1j?1)]
n(n?1)
?(?1)2?[?(i?n?1?i?j?1j)]
?n(n?1)n?(n?1)?? ? ??1 ?(?1)例3
2?(?1)2?(i?n?1?i?j?1j)
0D?abaa0abba0aaba0r1?r2?r3?r42a?b?aba2a?b0ab2a?ba0a2a?bba0
1r1?12a?b10ab1a0a1ba0r2?r11?r4?ar1r3?br11?aa?bb?a10?b0?ab?a1b?aa?b?ab?a?a??2a?b?aba000?2a?b?
?a??2a?b?a?bb?a??2a?b???b?a0?b0b?aa?b??2a?b???b??a??b?a?2
?2??bsincos224?4ab22
???0sin2????sincos2练习3：证明: D证明：
sin2?cos22.
cos2?cos2?cos2???sincos2??sincos2???1cos2cos12211左边?cos222?cos2???1cos2cos2???1
cos2?1?2coscos2cos2?112cos2???12cos11222??coscos??coscos2???cos2?cos?1?cos2??0?0?0
222?1?1
从最后一行开始，每行减去上一行，得到： 1 2 3 ... n-1 n 1 1 1 ... 1 1-n ... ... ... ...
1 1-n 1 ... 1 1
然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：
1 1 2 ... n-2 n-1 1 0 0 ... 0 -n ... ... ... ...
1 -n 0 ... 0 0
再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到： (n+1)/2 1 2 ... n-2 n-1 0 0 0 ... 0 -n ... ... ... ...
0 -n 0 ... 0 0
最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}